Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВОпределение 24. Пусть А — квадратная матрица порядка
называется характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение Из определения определителя следует,
то характеристический многочлен матрицы А
Пусть Теорема 18. Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. Характеристический многочлен
где
В процессе преобразований мы использовали теорему: определитель произведения нескольких матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц. Теорема 18 позволяет характеристический многочлен матрицы линейного преобразования называть характеристическим многочленом преобразования. Множество характеристических чисел матрицы преобразования также не будет зависеть от базиса, поэтому говорят о характеристических числах преобразования. Теорема 19. Множество собственных значений преобразования Доказательство. Выберем в
Пусть
Для координат векторов
а) Пусть некоторое число
или
Отсюда имеем:
или
Мы видим, что набор чисел
Следовательно,
Таким образом, любое собственное значение линейного преобразования б) Обратно, пусть характеристический многочлен В результате имеем: для вектора
Следовательно, Следствие. Всякое линейное преобразование пространства Справедливость этого следствия вытекает из теоремы 19 и из того, что всякий многочлен имеет хотя бы один комплексный корень. Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования пространства
Находим характеристический многочлен:
Собственными значениями будут корни этого многочлена. Следовательно, наше преобразование имеет одно собственное значение Для нахождения соответствующих собственных векторов подставим
Получим систему уравнений:
Общее решение системы:
Найденные векторы х и у являются линейно независимыми собственными векторами данного линейного преобразования с собственным значением Упражнения(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|