§ 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Определение 24. Пусть А — квадратная матрица порядка с элементами из поля Тогда многочлен

называется характеристическим многочленом матрицы А.

Уравнение относительно X называют характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы А.

Из определения определителя следует, есть многочлен от X степени коэффициент старшего члена равен Например, если

то характеристический многочлен матрицы А

Пусть линейное преобразование пространства Выбирая различные базисы пространства мы будем получать различные матрицы преобразования Естественно возникает вопрос: зависит ли характеристический многочлен матрицы линейного преобразования от выбора базиса? На этот вопрос отвечает

Теорема 18. Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Характеристический многочлен матрицы А линейного преобразования есть определитель Как известно, в другом базисе матрица того же преобразования имеет вид:

где матрица перехода к новому базису. В новом базисе характеристический многочлен есть определитель матрицы Имеем:

В процессе преобразований мы использовали теорему: определитель произведения нескольких матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц.

Теорема 18 позволяет характеристический многочлен матрицы линейного преобразования называть характеристическим многочленом преобразования. Множество характеристических чисел матрицы преобразования также не будет зависеть от базиса, поэтому говорят о характеристических числах преобразования.

Теорема 19. Множество собственных значений преобразования линейного пространства над числовым полем совпадает с множеством корней характеристического многочлена преобразования принадлежащих полю

Доказательство. Выберем в какой-нибудь базис Линейному преобразованию в этом базисе соответствует некоторая матрица А с элементами из поля Р:

Пусть произвольный вектор и

Для координат векторов имеют место известные соотношения:

а) Пусть некоторое число является собственным значением преобразования соответствующим собственному вектору Тогда по определению и

или

Отсюда имеем:

или

Мы видим, что набор чисел является ненулевым решением однородной системы линейных уравнений:

Следовательно,

Таким образом, любое собственное значение линейного преобразования является корнем его характеристического многочлена, принадлежащим полю

б) Обратно, пусть характеристический многочлен преобразования имеет корень т. е. выполняется равенство (5). Это означает, что определитель системы уравнений (4) равен нулю, а потому она имеет ненулевое решение, например . Легко видеть, что оно удовлетворяет соотношениям, полученным из (3) и (2) заменой на

В результате имеем: для вектора с координатами справедливо соотношение

Следовательно, является собственным значением преобразования соответствующим собственному вектору Теорема доказана.

Следствие. Всякое линейное преобразование пространства над полем комплексных чисел имеет хотя бы один собственный вектор.

Справедливость этого следствия вытекает из теоремы 19 и из того, что всякий многочлен имеет хотя бы один комплексный корень.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования пространства заданного в некотором базисе матрицей

Находим характеристический многочлен:

Собственными значениями будут корни этого многочлена. Следовательно, наше преобразование имеет одно собственное значение (кратности 3).

Для нахождения соответствующих собственных векторов подставим в уравнение

Получим систему уравнений:

Общее решение системы: . Фундаментальная система решений:

Найденные векторы х и у являются линейно независимыми собственными векторами данного линейного преобразования с собственным значением

Упражнения

(см. скан)