§ 36. МЕТОД ЛАГРАНЖА ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Элементарным способом приведения квадратичной формы к каноническому виду является метод Лагранжа. Рассмотрим его сначала на примерах.

Примеры. 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Объединяя в одну группу все члены, содержащие !, и дополняя сумму до полного квадрата, получаем:

Далее объединяем в одну группу все члены, содержащие

где

Отсюда

Можно было бы потребовать, чтобы искомая каноническая форма была с целыми коэффициентами. Тогда

где

2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Отличие этого примера от первого состоит в том, что здесь коэффициент при равен нулю, однако Этот случай можно свести к случаю, рассмотренному в примере 1, изменив нумерацию переменных следующим образом: меняем на на остальные номера без изменения, т. е. меняем на В итоге мы применили линейное преобразование:

и получили форму:

Дальше поступаем так же, как в примере 1.

3. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Этот пример отличается от первых двух тем, что здесь все

Сначала делаем вспомогательное преобразование переменных для того, чтобы получить квадрат какого-нибудь переменного с ненулевым коэффициентом. У нас Тогда все кроме меняем на и полагаем:

Получаем:

Далее поступаем так же, как в примере 1.

Рассмотрим метод Лагранжа в общем виде.

Теорема 39 (Лагранжа). Всякая квадратичная форма при помощи невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Сначала покажем, что если форма тождественно не равна нулю, то с помощью невырожденного линейного преобразования переменных можно сделать так, чтобы полученная форма имела коэффициент при (при первой переменной), отличный от нуля.

Пусть исходная квадратичная форма:

Сама данная форма обладает нужным свойством. Никакого преобразования делать не нужно. Можно, разве, сделать тождественное преобразование

2-й случай: но какой-либо из диагональных коэффициентов Тогда нужное преобразование сводится лишь к изменению нумерации переменных: заменим на заменим на а остальные заменяем на

Вместо будем иметь точнее, вместо будет и цель достигнута: получили условия первого случая. Выполненное преобразование невырожденное, так как для него легко строится обратное: равенства (2) однозначно разрешимы относительно

3-й случай: все диагональные коэффициенты равны нулю, т. е.

Так как форма ненулевая, то найдется коэффициент, отличный от нуля. Пусть где Выполним какое-нибудь неособенное преобразование, порождающее квадрат одной переменной с ненулевым коэффициентом. Положим, например,

т. е. заменяем на а все остальные заменяем на Это преобразование невырожденное, так как обратным для него будет преобразование:

Тогда

Слагаемое единственное с а потому оно не уничтожится в результате приведения подобных членов. В итоге мы пришли к условию второго случая, который сводится к первому.

Таким образом, без нарушения общности можно полагать далее, что Вторая часть доказательства теоремы Лагранжа выполняется индукцией по числу переменных.

Для утверждение теоремы тривиально: всякая квадратичная форма от одной переменной имеет вид

Допустим, что теорема верна в случае переменных. Докажем, что теорема верна и для квадратичных форм от переменных.

В квадратичной форме (1) выделим члены, содержащие

где квадратичная форма от переменных Форму запишем теперь так, чтобы выделенные члены, содержащие вошли в квадрат линейного выражения :

где от переменных Сделаем следующую замену переменных:

Очевидно, преобразование (2) невырожденное: определитель его матрицы равен 1 Из (2) находим выражения старых переменных через новые:

В результате преобразования (3) — обозначим его матрицу через форма принимает вид:

К форме применимо индуктивное допущение: форма невырожденным линейным преобразованием

приводится к каноническому виду

Если в форме/после преобразования (3) выполнить преобразование

с матрицей В, то форма принимает требуемый вид:

Результирующее линейное преобразование — произведение преобразований (3) и (4) — невырожденно, так как определитель его матрицы В не равен нулю.

Доказательство теоремы Лагранжа закончено. Оно дает прием фактического приведения квадратичной формы к каноническому виду, что иллюстрируется приведенными выше примерами.

Упражнения

(см. скан)