Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМПрименяя преобразования переменных
для квадратичной формы
получим два канонических вида:
Таким образом, канонический вид данной квадратичной формы не однозначен. Мы получили два различных канонических вида, но можно заметить, что в каждом из них один положительный коэффициент и два отрицательных. Оказывается, что имеет место общее положение: число положительных и число отрицательных коэффициентов канонического вида данной вещественной квадратичной формы будет одно и то же независимо от преобразования переменных, приводящего к каноническому виду. В этом и состоит закон инерции вещественных квадратичных форм. Предварительно сделаем замечание. Выполнив подходящее невырожденное линейное преобразование переменных, можно согласно теореме Лагранжа каждую вещественную квадратичную форму привести к каноническому виду
где все коэффициенты вещественны и отличны от нуля. Число этих коэффициентов согласно теореме 37 равно рангу квадратичной формы
где все числа
с вещественными коэффициентами, получим форму:
которая называется нормальным видом квадратичной формы Теорема 40. (Закон инерции.) Число положительных и число отрицательных квадратов в каноническом виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием переменных с вещественными коэффициентами, не зависит от выбора этого преобразования. Доказательство. Так как при переходе от формы (1) к форме (3) число положительных (а также и отрицательных) квадратов не меняется, то при доказательстве теоремы можно ограничиться лишь нормальным видом формы (вместо любого канонического). Пусть вещественная квадратичная форма
В силу невырожденности преобразований новые переменные будут линейно выражаться через старые с отличными от нуля определителями:
Допустим, что линейных однородных уравнений относительно
Система (7) состоит из
Подставив числа
Для этих значений новых переменных из равенства (4) получаем:
В силу вещественности входящих сюда слагаемых получаем, что
Следовательно, определитель этой системы, а значит, и преобразования (6), равен нулю, что противоречит невырожденности этого преобразования. Аналогичным образом получим противоречие, допустив, что Закон инерции дает основание принять следующее Определение 38. Число Индексы инерции
поэтому Закон инерции состоит в том, что индексы инерции и сигнатура данной вещественной квадратичной формы инвариантны относительно невырожденных линейных преобразований переменных.
|
1 |
Оглавление
|