§ 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

Применяя преобразования переменных

для квадратичной формы

получим два канонических вида:

Таким образом, канонический вид данной квадратичной формы не однозначен. Мы получили два различных канонических вида, но можно заметить, что в каждом из них один положительный коэффициент и два отрицательных. Оказывается, что имеет место общее положение: число положительных и число отрицательных коэффициентов канонического вида данной вещественной квадратичной формы будет одно и то же независимо от преобразования переменных, приводящего к каноническому виду. В этом и состоит закон инерции вещественных квадратичных форм.

Предварительно сделаем замечание. Выполнив подходящее невырожденное линейное преобразование переменных, можно согласно теореме Лагранжа каждую вещественную квадратичную форму привести к каноническому виду

где все коэффициенты вещественны и отличны от нуля. Число этих коэффициентов согласно теореме 37 равно рангу квадратичной формы После надлежащего линейного преобразования, состоящего в изменении нумерации переменных, канонический вид (1) можно записать так:

где все числа положительны и Применив к форме невырожденное линейное преобразование

с вещественными коэффициентами, получим форму:

которая называется нормальным видом квадратичной формы Принимая во внимание теорему Лагранжа, мы получили утверждение: всякая вещественная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием переменных с вещественными коэффициентами приводится к нормальному виду (3) с коэффициентами и — 1 при квадратах переменных.

Теорема 40. (Закон инерции.) Число положительных и число отрицательных квадратов в каноническом виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием переменных с вещественными коэффициентами, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Так как при переходе от формы (1) к форме (3) число положительных (а также и отрицательных) квадратов не меняется, то при доказательстве теоремы можно ограничиться лишь нормальным видом формы (вместо любого канонического).

Пусть вещественная квадратичная форма ранга от переменных двумя невырожденными линейными преобразованиями переменных приведена к нормальному виду:

В силу невырожденности преобразований новые переменные будут линейно выражаться через старые с отличными от нуля определителями:

Допустим, что Исходя из первых уравнений в (5) и последних уравнений в (6), составим следующую систему

линейных однородных уравнений относительно с вещественными коэффициентами:

Система (7) состоит из уравнений, атак как по допущению то т. е. в системе (7) число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, однородная система (7) имеет вещественное ненулевое решение:

Подставив числа в равенства (5) и (6), получим соответствующие значения новых переменных:

Для этих значений новых переменных из равенства (4) получаем:

В силу вещественности входящих сюда слагаемых получаем, что а так как то имеем: набор является ненулевым решением однородной системы уравнений с неизвестными:

Следовательно, определитель этой системы, а значит, и преобразования (6), равен нулю, что противоречит невырожденности этого преобразования.

Аналогичным образом получим противоречие, допустив, что Отсюда вывод: теорема доказана.

Закон инерции дает основание принять следующее

Определение 38. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде вещественной квадратичной формы называется соответственно положительным и отрицательным индексом инерции; разность называется сигнатурой данной квадратичной формы.

Индексы инерции ранг и сигнатура данной квадратичной формы связаны между собой следующим образом:

поэтому однозначно определяют и наоборот.

Закон инерции состоит в том, что индексы инерции и сигнатура данной вещественной квадратичной формы инвариантны относительно невырожденных линейных преобразований переменных.