Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ
Теорема 34. Для всякой вещественной симметрической матрицы А можно найти такую ортогональную матрицу что матрица будет диагональной.
Другими словами, любую вещественную симметрическую матрицу А можно трансформировать в диагональную с помощью некоторой ортогональной матрицы
Доказательство. Пусть А — симметрическая вещественная матрица порядка По теореме 30 (часть 2) в некотором ортонормированном базисе пространства матрица А задает линейное симметрическое преобразование По теореме 32 в пространстве существует ортонормированный базис составленный из собственных векторов преобразования так что
где вещественные числа. В базисе преобразование задается диагональной матрицей
Согласно теореме 12 (§ 14)
где матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому а потому согласно § 27 она является ортогональной. Теорема доказана.
Пример. Дана матрица
Найти ортогональную матрицу трансформирующую А в диагональную матрицу.
Решение. Собственные значения преобразования заданного в некотором ортонормированном базисе данной симметрической матрицей А, были найдены ранее (в § 21):
кратности кратности 1. Там же были найдены попарно ортогональные собственные векторы симметрического преобразования
Нормируя эти векторы, получаем ортонормированный базис пространства из собственных векторов преобразования
Тогда
и, значит, в базисе линейное преобразование будет иметь матрицу
Так как (1) есть координатная запись векторов в базисе то матрицей перехода от базиса к базису является