§ 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ

Теорема 34. Для всякой вещественной симметрической матрицы А можно найти такую ортогональную матрицу что матрица будет диагональной.

Другими словами, любую вещественную симметрическую матрицу А можно трансформировать в диагональную с помощью некоторой ортогональной матрицы

Доказательство. Пусть А — симметрическая вещественная матрица порядка По теореме 30 (часть 2) в некотором ортонормированном базисе пространства матрица А задает линейное симметрическое преобразование По теореме 32 в пространстве существует ортонормированный базис составленный из собственных векторов преобразования так что

где вещественные числа. В базисе преобразование задается диагональной матрицей

Согласно теореме 12 (§ 14)

где матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому а потому согласно § 27 она является ортогональной. Теорема доказана.

Пример. Дана матрица

Найти ортогональную матрицу трансформирующую А в диагональную матрицу.

Решение. Собственные значения преобразования заданного в некотором ортонормированном базисе данной симметрической матрицей А, были найдены ранее (в § 21):

кратности кратности 1. Там же были найдены попарно ортогональные собственные векторы симметрического преобразования

Нормируя эти векторы, получаем ортонормированный базис пространства из собственных векторов преобразования

Тогда

и, значит, в базисе линейное преобразование будет иметь матрицу

Так как (1) есть координатная запись векторов в базисе то матрицей перехода от базиса к базису является

По теореме поэтому матрицы искомые.

Упражнение

(см. скан)