§ 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Существует довольно простой метод (метод Лагранжа) приведения квадратичной формы к каноническому виду. Этот метод, однако, во многих задачах не дает нужного результата. Например, в задачах аналитической геометрии часто требуется привести общее уравнение кривой или поверхности второго порядка к каноническому виду, причем такое приведение требуется осуществить с помощью весьма специального преобразования переменных (а именно ортогонального); метод Лагранжа не всегда обеспечивает это условие. В связи с этим мы укажем способ, основанный на отыскании собственных значений матрицы квадратичной формы.

Теорема 38. Всякая квадратичная форма с матрицей А может быть приведена к каноническому виду

при помощи преобразования переменных с ортогональной матрицей. При этом коэффициенты канонического вида являются корнями характеристического многочлена матрицы каждый из которых взят столько раз, какова его кратность.

Доказательство. Пусть дана вещественная квадратичная форма с матрицей А. По теореме 35 квадратичная форма после выполнения линейного преобразования переменных с матрицей будет иметь матрицу

Отсюда следует, что задача приведения квадратичной формы к каноническому виду равносильна задаче приведения симметрической матрицы А к диагональному виду путем умножения ее слева и

справа соответственно на взаимно транспонированные матрицы

Воспользуемся теоремой 34, утверждающей, что для всякой симметрической матрицы А существует ортогональная матрица такая, что матрица

диагональна. Легко видеть, что матрица решает поставленную задачу, так как вследствие ее ортогональности имеем и потому

Заметим попутно, что (как видно из доказательства теоремы 34) диагональные элементы матрицы В суть корни характеристического многочлена матрицы каждый из которых взят столько раз, какова его кратность. Теорема доказана.

Канонический вид формы можно найти, таким образом, и не находя самого ортогонального преобразования переменных, а зная лишь собственные значения определяемые матрицей А.

Это положение подтверждает важность понятия собственного значения.

Пример. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма

посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования.

Решение. Находим корни характеристического многочлена матрицы А данной формы:

Искомый канонический вид:

Упражнения

(см. скан)