Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУСуществует довольно простой метод (метод Лагранжа) приведения квадратичной формы к каноническому виду. Этот метод, однако, во многих задачах не дает нужного результата. Например, в задачах аналитической геометрии часто требуется привести общее уравнение кривой или поверхности второго порядка к каноническому виду, причем такое приведение требуется осуществить с помощью весьма специального преобразования переменных (а именно ортогонального); метод Лагранжа не всегда обеспечивает это условие. В связи с этим мы укажем способ, основанный на отыскании собственных значений матрицы квадратичной формы. Теорема 38. Всякая квадратичная форма с матрицей А может быть приведена к каноническому виду
при помощи преобразования переменных с ортогональной матрицей. При этом коэффициенты Доказательство. Пусть дана вещественная квадратичная форма
Отсюда следует, что задача приведения квадратичной формы к каноническому виду равносильна задаче приведения симметрической матрицы А к диагональному виду путем умножения ее слева и справа соответственно на взаимно транспонированные матрицы Воспользуемся теоремой 34, утверждающей, что для всякой симметрической матрицы А существует ортогональная матрица
диагональна. Легко видеть, что матрица
Заметим попутно, что (как видно из доказательства теоремы 34) диагональные элементы матрицы В суть корни характеристического многочлена матрицы Канонический вид формы Это положение подтверждает важность понятия собственного значения. Пример. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма
посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования. Решение. Находим корни характеристического многочлена матрицы А данной формы:
Искомый канонический вид:
Упражнения (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|