§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ИЛИ ПОДПРОСТРАНСТВО, НАТЯНУТОЕ НА ДАННУЮ СИСТЕМУ ВЕКТОРОВ

В § 8 были рассмотрены общие положения о подпространствах. Возникает, однако, естественный вопрос конструктивного характера о способах построения подпространств; одним из таких способов является образование так называемой линейной оболочки заданной системы векторов.

Определение 9. Пусть конечная система векторов линейного пространства над полем Линейной оболочкой системы называется совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов данной системы, т. е. совокупность векторов вида

с произвольными коэффициентами , взятыми из поля

Линейную оболочку векторов обозначим через .

Пусть , т. е.

Тогда ,

По теореме 7 получаем, что — подпространство пространства Значит, образование линейных оболочек действительно является способом конструирования подпространств.

О пространстве говорят также, что оно порождено векторами или натянуто на систему векторов

Очевидно, что содержит и сами векторы так как, например, С другой стороны, всякое подпространство, содержащее векторы содержит, очевидно, и все их линейные комбинации. Значит, линейная оболочка системы векторов содержится во всяком подпространстве, содержащем векторы т. е. есть наименьшее подпространство, содержащее векторы Указанный способ построения подпространств с помощью линейных оболочек является весьма общим. В самом деле, каждый вектор произвольного подпространства по определению базиса есть линейная комбинация векторов базиса

пространства значит, всякое подпространство линейного пространства является подпространством, натянутым на некоторые векторы из векторы базиса

Из теоремы 1 следует, что размерность пространства равна числу векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы порождающих векторов короче, максимальному числу линейно независимых векторов в системе

Примеры. 1. Исходное пространство Порождающая система состоит из одного вектора а, подпространство состоит из всех векторов, коллинеарных вектору а.

2. Исходное пространство Порождающая система состоит из двух неколлинеарных векторов Подпространство есть совокупность векторов вида а а т. е. плоскость, проходящая через векторы а и 6.

3. Исходное пространство Порождающая система векторов — три некомпланарных вектора а, b, с. В этом случае подпространство есть

— произвольное линейное пространство; его базис. Тогда

5. Исходное пространство Система порождающих векторов — совокупность функций: Тогда

линейная оболочка есть пространство всех многочленов степени

6. Найти размерность и базис подпространства пространства если

Размерность пространства совпадает с максимальным числом линейно независимых векторов порождающей системы и потому равна рангу матрицы составленной из векторов Получаем ранг а потому В ходе вычисления ранга матрицы замечаем, что в качестве базиса можно взять систему векторов

7. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы

Решение. Так как

то состоит из всех таких векторов х, что

Решив уравнение

относительно неизвестных получим:

где с — произвольное вещественное число. Итак,

Пространство порождено одним вектором (5, —2, —3, —4). Значит, и в качестве базиса пространства можно взять вектор (5, —2, —3, —4).

Пространство состоит из векторов вида а где а следовательно, произвольный вектор пространства имеет вид:

т. е. Далее, тем же способом, что и в примере 6, получаем и базисом пространства может служить система векторов

Упражнения

(см. скан)