§ 35. НАХОЖДЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО ВЕЩЕСТВЕННУЮ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Исходя из доказательства теоремы 38, можно указать практическую схему для отыскания ортогонального преобразования переменных, в результате которого квадратичная форма принимает канонический вид, или, что то же, ее матрица заменяется на диагональную.

1-й шаг. Для данной квадратичной формы строим ее симметрическую матрицу А.

2-й шаг. Составляем характеристический многочлен и находим его корни. (В силу теоремы 22 все корней этого многочлена вещественны, но не обязательно различны.) Обозначим корни характеристического многочлена через

3-й шаг. Зная корни характеристического многочлена можно написать канонический вид данной квадратичной формы:

4-й шаг. Для каждого корня кратности составляем однородную систему линейных уравнений:

где элементы матрицы А.

5-й шаг. Для каждого кратности находим какую-нибудь одну ортонормированную систему из векторов, являющихся решениями системы (1). Индекс меняется от 1 до где есть число различных корней характеристического многочлена Согласно теореме 32 получим попарно ортогональных нормированных векторов:

(Порядок следования векторов соответствует порядку в каноническом виде.)

6-й шаг. Составляем матрицу столбцами которой являются координаты векторов

7-й шаг. Записываем искомое ортогональное преобразование переменных:

т. е.

8-й шаг. Если требуется выразить новые переменные через старые то, учитывая, что получаем:

Замечание. В случае правильности полученного результата должно быть где В — диагональная матрица, отвечающая форме Отметим еще, что в связи с неоднозначностью отыскания фундаментальной системы решений однородной линейной системы (5-й шаг) ортогональное преобразование переменных будет находиться также неоднозначно.

Пример. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

к каноническому виду.

Решение.

2-й    шаг.

3-й    шаг.

4-й шаг. Система (1) для

Система (1) для

5-й шаг. Для система (1) сводится к уравнению

Отсюда . Для отыскания добавляем условие т. е. В итоге получаем систему:

Отсюда .

Для находим .

Нормируя систему векторов получим:

6-й    шаг.

7-й    шаг.

Упражнения