§ 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Среди всех линейных преобразований пространства особое место занимают взаимнооднозначные преобразования (при которых каждый вектор пространства является образом ровно одного вектора).

Теорема 14. Линейное преобразование пространства взаимно однозначно тогда и только тогда, когда его матрица в каком-нибудь базисе невырожденна.

Доказательство. Пусть в некотором базисе преобразование имеет матрицу

Тогда координаты вектора следующим образом выражаются через координаты вектора

Взаимная однозначность преобразования означает, что для любого набора чисел найдется ровно один набор чисел удовлетворяющих системе уравнений (1). Но система уравнений (1) имеет единственное решение относительно неизвестных и только тогда, когда ее определит ель отличен от нуля, т. е. матрица А невырожденна. Этим теорема доказана.

Определение 18. Линейное преобразованиеф пространства называется обратимым (или невырожденным), если существует такое линейное преобразование что

где — тождественное преобразование.

Очевидно, что если какое-либо преобразование удовлетворяет равенствам (2), то оно единственно, линейно и невырожденно. Это преобразование называется обратным для и обозначается через так что

Ясно также, что обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно. При этом, поскольку кольцо линейных

преобразований изоморфно кольцу матриц, то равенствам (3) будут соответствовать матричные равенства

где В — матрица линейного преобразования в том же базисе, что и А для Отсюда видно, что

Таким образом, доказана

Теорема 15. Линейное преобразование пространства обратимо тогда и только тогда, когда оно в каком-либо базисе задается невырожденной матрицей А. При этом обратное преобразование (когда оно существует) определяется матрицей

Обозначим буквой множество всех невырожденных линейных преобразований пространства над полем

Легко видеть, что:

1) если то (поскольку произведению преобразований отвечает произведение соответствующих матриц);

2) тождественное преобразование

Отсюда, учитывая ассоциативность умножения преобразований, получаем: множество всех невырожденных линейных преобразований пространства образует группу относительно операции умножения.

Определение 19. Пусть линейное преобразование пространства Совокупность векторов для всех называется областью значений преобразования и обозначается подпространство линейного пространства В самом деле, если то в силу линейности имеем: и для любого Теперь наше утверждение следует из теоремы 7.

Ранг матрицы линейного преобразования пространства не зависит от выбора базиса в нем, а зависит только от самого преобразования. Этот факт делает обоснованным следующее

Определение 20. Рангом линейного преобразования пространства называется ранг его матрицы.

Теорема 16. Размерность подпространства (области значений линейного преобразования равна рангу преобразования т. е.

Доказательство. Пусть базис пространства Для любого имеется представление где координаты вектора Тогда

Так как могут принимать любые значения, то область значений преобразования есть линейная оболочка системы векторов

Следовательно, размерность пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов системы среи среп (§ 9). Если

— матрица преобразования то

Отсюда по следствию 1 из теоремы 4 получаем, что максимальное число линейно независимых векторов системы среп равно рангу системы столбцов матрицы т. е. рангу матрицы А. Теорема доказана.

Из теорем 15—16 заключаем следующее. Для невырожденных преобразований ранг область значений имеет размерность и совпадает с пространством

Если преобразование вырожденное, то ранг в этом случае преобразование переводит пространство в его правильную часть размерности Наряду с областью значений важной характеристикой линейного преобразования является так называемое ядро линейного преобразования.

Определение 21. Ядром линейного преобразования пространства называется множество всех векторов, отображаемых преобразованием в нулевой вектор.

Ядро преобразования обозначается через Легко видеть, что оно является подпространством пространства (Докажите.)

Теорема 17. Размерность ядра преобразования пространства равна разности где ранг

Доказательство. Пусть линейное преобразование пространства заданное в некотором базисе матрицей А. Если и

— координатный столбец вектора х, то тогда и только тогда, когда

или

Следовательно, размерность ядра совпадает с размерностью пространства решений системы (4) и потому согласно § 10 равна Из теорем 15 и 17 получаем

Следствие. Для того чтобы линейное преобразование пространства было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы ядро этого преобразования было нулевым.

Пример. Найти ядро и область значений линейного преобразования заданного в некотором базисе пространства матрицей

Решение. Находим, что ранг Значит, размерность области значений равна 2, размерность ядра Кегф равна

Пространство натянуто на векторы координатные столбцы которых являются столбцами матрицы А. Базис пространства можно составить, например, из векторов среи Таким образом,

где произвольные вещественные числа.

Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:

Общее решение этой системы: Базис ядра составляют, например, векторы .

Упражнение

(см. скан)