Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯСреди всех линейных преобразований пространства Теорема 14. Линейное преобразование Доказательство. Пусть в некотором базисе преобразование
Тогда координаты вектора
Взаимная однозначность преобразования Определение 18. Линейное преобразованиеф пространства
где Очевидно, что если какое-либо преобразование
Ясно также, что преобразований изоморфно кольцу матриц, то равенствам (3) будут соответствовать матричные равенства
где В — матрица линейного преобразования Таким образом, доказана Теорема 15. Линейное преобразование Обозначим буквой Легко видеть, что: 1) если 2) тождественное преобразование
Отсюда, учитывая ассоциативность умножения преобразований, получаем: множество всех невырожденных линейных преобразований пространства Определение 19. Пусть Ранг матрицы линейного преобразования пространства Определение 20. Рангом линейного преобразования Теорема 16. Размерность подпространства
Доказательство. Пусть
Так как
Следовательно, размерность пространства
— матрица преобразования
Отсюда по следствию 1 из теоремы 4 получаем, что максимальное число линейно независимых векторов системы Из теорем 15—16 заключаем следующее. Для невырожденных преобразований Если преобразование вырожденное, то ранг Определение 21. Ядром линейного преобразования Ядро преобразования Теорема 17. Размерность ядра преобразования Доказательство. Пусть
— координатный столбец вектора х, то
или
Следовательно, размерность ядра совпадает с размерностью пространства решений системы (4) и потому согласно § 10 равна Следствие. Для того чтобы линейное преобразование пространства Пример. Найти ядро и область значений линейного преобразования
Решение. Находим, что ранг Пространство
где Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:
Общее решение этой системы: Упражнение(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|