§ 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ

164. Разложение в ряд Фурье.

Настоящий параграф мы посвятим более глубокому и строгому изложению теории рядов Фурье и начнем с изложения доказательства теоремы разложения в ряд Фурье. При этом мы будем налагать на условия, отличные от условий Дирихле [155], что приведет к упрощению доказательства. В дальнейшем мы дадим доказательство и теоремы Дирихле. Обратимся к ряду Фурье функции

где

и переменная интегрирования обозначена нами буквой , чтобы не путать ее при дальнейших вычислениях с переменной формулы (1). Подставляя выражения в формулу (1), найдем сумму первых членов ряда Фурье функции которую мы обозначим через

Но имеет место формула [I, 174]

Заменяя в этой формуле на и вычитая из обеих частей половину, получим

откуда

и предыдущее выражение для можно переписать в виде

Функцию заданную в промежутке , мы периодически продолжаем с периодом так что мы можем считать ее определенной при всех вещественных и с периодом Дробь, стоящая под знаком интеграла, в силу (2), также имеет относительно t период Принимая во внимание замечание из [154], мы можем в предыдущем интеграле заменить промежуток интегрирования любым промежутком длины Берем какое-нибудь значение независимого переменного и принимаем за промежуток интегрирования

Отметим еще раз, что во всем дальнейшем мы под разумеем функцию, продолженную указанным выше образом из промежутка на все вещественные значения

Разбиваем весь интеграл на два: один и другой . В первом вводим вместо t новую переменную интегрирования z по формуле во втором — но формуле Совершая замену переменных под знаком интеграла и вычисляя новые пределы

интегрирования, получим

Если мы положим, что во всем промежутке равна единице, то очевидно, что свободный член у ее ряда Фурье будет равен единице, а остальные члены — нулю, т. е. при всяком будет равна единице, и мы имеем следующее равенство

Прежде чем переходить к доказательству основного предложения о разложении функции в ряд Фурье, докажем лемму:

Лемма. Если есть промежуток или его часть и функция, непрерывная в или имеющая в этом промежутке конечное число разрывов первого рода, то интегралы

стремятся к нулю при беспредельном возрастании целого числа .

Если есть промежуток , то эта лемма буквально совпадает с теоремой из [159]. Положим теперь, что есть часть . Продолжим из во весь промежуток , полагая ее равной нулю в частях промежутка , лежащих вне т. е. определим новую функцию так, что при если z принадлежит промежутку , но находится вне При этом мы можем, например, написать

и этот интеграл стремится к нулю в силу упомянутой выше теоремы из [159]. Заметим, что также или непрерывна в промежутке , или имеет конечное число разрывов первого рода. Нетрудно показать, что лемма остается справедливой, если любой конечный промежуток.

Обращаемся теперь к доказательству основной теоремы разложения в ряд Фурье. Мы, как всегда, считаем, что непрерывна или имеет конечное число рызрывов первого рода в промежутке

Умножая обе части равенства (4) на вводя этот множитель под знак интеграла и вычитая полученное равенство из (3), будем иметь

что можно переписать еще в виде

Для того чтобы доказать, что ряд Фурье (1) функции сходится и имеет суммою , надо показать, что разность стремится к нулю при беспредельном возрастании .

Рассмотрим функцию

в промежутке 0, Она может иметь точки разрыва первого рода, происходящие от точек разрыва и, кроме того, надо особо исследовать значение Положим, что во взятой точке функция не только непрерывна, но и имеет производную. Из определения производной и из очевидного равенства

вытекает, что стремится к определенному пределу, равному когда . Отсюда вытекает, что к функции применима вышеуказанная лемма, и первое слагаемое в правой части формулы (S) стремится к нулю при беспредельном возрастании

Точно так же доказывается, что и второе слагаемое стремится к нулю, а отсюда вытекает, что и разность стремится к нулю во взятой точке . Мы получаем таким образом следующую теорему: Теорема. Если непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке , то ее ряд Фурье сходится и имеет суммою во всякой такой точке в которой имеет производную.

Нетрудно получить и более общие результаты. Положим, что в точке функция непрерывна или даже имеет разрыв непрерывности первого рода, но существуют конечные пределы

Геометрически существование этих пределов, т. е. производных слева и справа, равносильно существованию определенной касательной слева и справа. При этом имеет место следующее дополнение к доказанной теореме: если существуют конечные пределы (6), то в этой точке ряд Фурье функции сходится и его сумма равна [что равно если непрерывна].

Умножая (4) на и вычитая из (3), можем написать

Надо доказать, что правая часть стремится к нулю при беспредельном возрастании .

Принимая во внимание существование пределов (6), мы можем утверждать, что при 0 обе дроби

имеют конечные пределы, и, рассуждая совершенно так же, как и выше, мы убедимся, что оба интеграла, стоящих в правой части (7), стремятся к нулю при беспредельном возрастании . Таким образом приведенное выше дополнение к теореме доказано.

При значениях в силу периодического продолжения пределы (6) сведутся к пределам

и сумма ряда будет

Заметим, что во всех примерах, рассмотренных нами в предыдущем параграфе, удовлетворяет во всех точках условиям доказанной теоремы или дополнения к ней.