211. Уравнение Пуассона.

Для построения производных второго порядка от функции мы должны усилить наши предположения относительно .

Теорема 2. Если непрерывная функция имеет непрерывные производные первого порядка внутри (D), то имеет непрерывные производные второго порядка внутри (D) и удовлетворяет внутри D уравнению

Фиксируем внутри (D) какую-либо точку . Пусть с центром и радиусом , лежащий внутри (D), и часть (D), лежащая вне Разобьем потенциал (56) на два слагаемых

и, в силу теоремы 1,

Мы имеем

и, следовательно, можем написать

Подставляя это выражение вместо подынтегральной функции и интеграле по формулы (65) и применяя формулу Остроградского, получим

где есть поверхность шара — направление внешней нормали к в точке N. Первое слагаемое правой части есть собственный интеграл для точек лежащих внутри , и он имеет внутри производные всех порядков. То же можно утверждать относительно третьего слагаемого, которое является интегралом по поверхности шара Второе слагаемое есть объемный интеграл по с непрерывной плотностью и, в силу теоремы 1, он имеет непрерывные производные первого порядка во всем пространстве. Таким образом можно утверждать, что имеет непрерывные производные первого порядка внутри Принимая во внимание произвольность выбора точки внутри (D), можем утверждать, что имеет непрерывные производные первого порядка везде внутри

Применяя те же рассуждения к можем утверждать, что имеет внутри (D) непрерывные производные второго порядка. Остается доказать формулу (63) для любой точки внутри

Вернемся к формулам (64) и (66). Потенциал объемных масс по области , как мы знаем, есть гармоническая функция внутри , ибо лежит вне внутри и тем самым внутри Таким образом для составления достаточно продифференцировать по под знаком интеграла (пользуемся теоремой 1) те члены в в которых интегрирование совершается по , составить аналогичные выражения для производных второго порядка по у и z и сложить все три производные. При этом надо помнить, что под знаком интеграла только множитель зависит от . Составив таким образом внутри мы возьмем его значение в центре сферы Обозначая через это значение и через расстояние от

переменной точки интегрирования, мы получим

Эта формула справедлива при любом выборе радиуса , лишь бы шар лежал внутри и величина зависит, очевидно, от выбора . Будем стремить к нулю. Докажем, что при этом тройной интеграл будет стремиться к нулю. Достаточно рассмотреть интеграл от одного из слагаемых. Пусть — наибольшее абсолютное значение непрерывной функции в некотором фиксированном достаточно малом шаре . При мы имеем, принимая во внимание, что

Вводя сферические координаты с началом в и заменяя мы убедимся в том, что выражение, стоящее в правой части, равно откуда и следует, что тройной интеграл стремится к нулю при

Займемся теперь поверхностным интегралом формулы (67). Мы имеем, принимая во внимание, что внешняя нормаль направлена по радиусу сферы:

и следовательно, поверхностный интеграл может быть записан в виде

или, применяя теорему о среднем,

где — некоторая точка на . При точка стремится

к точке и в пределе поверхностный интеграл формулы (67) дает , что и приводит к формуле (63). Эта формула называется обычно формулой Пуассона или уравнением Пуассона.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если непрерывна в области (D) вплоть до поверхности и имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (D), то формула (55) дает решение уравнения (54). Заметим, что если определена во всем пространстве и достаточно быстро убывает при беспредельном удалении точки то за (D) мы можем взять всё пространство.

Совершенно аналогичные теоремы могут быть доказаны и для интеграла по плоской области

или

Если непрерывна в (В) вплоть до контура этой области, то сама непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости, причем эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. Если, кроме того, имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (В), то имеет непрерывные частные производные второго порядка внутри (В) и в каждой точке внутри (В) удовлетворяет уравнению Пуассона

Составим наряду с интегралом (55) интеграл

где — функция Грина области D с полюсом N. В интеграле интегрирование совершается по точке N. Принимая во внимание формулу (48), можем написать

где - гармоническая функция M везде внутри (D) и имеющая предельные значения — на (S), где — расстояние от переменной точки на (S) до точки N. Второй интеграл справа есть функция точки М, входящей под знак интеграла в виде параметра, и поскольку гармоническая функция везде внутри (D), то и второй интеграл справа есть гармоническая функция М внутри (D). Оператор Лапласа от первого слагаемого справа по доказанному равен и таким образом функция определенная формулой удовлетворяет уравнению (54). Далее, принимая во внимание,

что имеет на (S) нулевые предельные значения, мы видим на основании что удовлетворяет на (S) предельному условию

Итак, формула определяет решение уравнения (54), удовлетворяющее написанному предельному условию. Предельные значения решения , которые получаются, как значения интеграла, стоящего в правой части, когда точка находится на , зависят от . Заметим, что проведенное выше исследование функции не является вполне строгим. Оно требует дополнительного исследования зависимости от точки N, доказательства возможности дифференцирования под знаком интеграла и предельного перехода под знаком интеграла, когда М стремится к точке поверхности (S) (см. том IV).