§ 4. Полярная система координат на плоскости

1. Определение полярных координат. Понятие угла наклона вектора к данной оси находит постоянные применения в геометрии плоскости. Одним из важнейших среди них является определение полярных координат.

Для определения системы полярных координат на плоскости надо задать:

1° Масштаб (т. е. единицу измерения длины).

2° Направление вращения в плоскости, считаемое положительным.

3° Точку О (называемую «началом» или полюсом системы координат).

4° Полупрямую , исходящую из точки О (рис. 54) (эта полупрямая называется полярной осью).

Положительное направление на полупрямой задается вектором ОЕ (где Е — любая ее точка, отличная от точки О).

Если таким образом выбрана полярная система координат, то для каждой точки М (рис. 55) плоскости определены ее полярные координаты, а именно:

1) угол наклона вектора ОМ к полярной оси (т. е. угол от вектора ОЕ до вектора СМ);

2) расстояние точки М от начала О (т. е. длина вектора ОМ).

Угол называется полярным углом точки М или первой полярной координатой этой точки. Полярный угол определен для всех

Рис. 54.

Рис. 55.

точек М плоскости (и заключен между 0 и ), за единственным исключением точки О, для которой он делается неопределенным. Число называется полярным радиусом или второй полярной координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отличной от О, положителен; для точки О он равен нулю.

Иногда бывает целесообразно считать полярный угол точки определенным лишь с точностью до слагаемых вида , где k — любое целое число, т. е. считать наряду с данным и всякое число за значение полярного угла: если дано произвольное положительное и произвольное не ограниченное никаким дополнительным условием действительное число , то, взяв на полярной оси вектор ОА длины и повернув его в положительном направлении вокруг точки О на угол , получим вектор ОМ, конец которого будет иметь полярные координаты .

Точку М, полярные координаты которой равны данным , будем обозначать так: .

Пример. Пусть . Будем давать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами (т. е. множество всех точек , где пробегает все значения (рис. ) образует кривую, называемую спиралью Архимеда.

Рис. 56.

Уравнение

которому удовлетворяют полярные координаты любой точки М спирали Архимеда, называется уравнением, этой кривой в полярных координатах.

2. Связь прямоугольных координат с полярными. Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за масштаб и начало координат в этой прямоугольной системе берем масштаб и начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с ее направлением).

Так как в определение полярной системы входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ординат как ту ось, в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол в положительном направлении.

Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой, определенной данной полярной системой (рис. 57).

Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней масштаб и начало данной прямоугольной системы и полярная полуось созпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем вращением, которое переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол . Очевидно, если мы для полученной таким образом полярной системы координат построим определенную ею прямоугольную, то вернемся к исходной прямоугольной системе.

Рис..

Итак, каждой полярной системе координат соответствует вполне определенная прямоугольная система, и обратно.

Посмотрим, как связаны между собою координаты х, у и какой-нибудь точки М плоскости в обеих системах.

Имеем очевидные формулы:

Они позволяют перейти от полярных координат точки М к прямоугольным. Но они же позволяют произвести и обратный переход по формулам:

Из двух последних равенств (2) вытекает

Но формула (3) позволяет определить угол лишь с точностью до слагаемых вида при целом .

3. Примеры. Дадим еще несколько примеров кривых, заданных их уравнениями в полярных координатах.

1° Гиперболическая спираль определяется как множество всех точек М, полярные координаты которых связаны между собою уравнением

где — положительная постоянная, а полярный угол пробегает все положительные значения. Начав исследование уравнения (4) с какого-нибудь положительного значения и заставляя возрастать, видим, что полярный радиус точки , монотонно уменьшаясь, стремится к нулю при неограниченном возрастании , так что кривая, совершая бесконечное число оборотов, неограниченно приближается к началу О, никогда его, однако, не достигая.

Рис. 58.

Если мы теперь, начиная с данного , будем давать углу монотонно Убывающие значения, то будет неограниченно возрастать. Для того чтобы понять, как при этом убывании и возрастании будет изменяться положение точки , воспользуемся второй из формул (1), а именно:

Подставляя сюда значение получаем

откуда видно, что при , стремящемся к нулю, ордината точки у стремится к а, так что кривая при возрастании уходит в бесконечность, неограниченно приближаясь к прямой . Это обстоятельство выражают, говоря, что прямая является асимптотой гиперболической спирали (4).

Произведенное исследование показывает, что гиперболическая спираль имеет , указанный на рис. 58.

2° Логарифмическая спираль. Она определяется как совокупность точек , полярные координаты которых удовлетворяют уравнению

Примем за положительное направление вращения направление против часовой стрелки. При получаем точку . При возрастании возрастает и (в частности, когда возрастает на , то полярный радиус умножается на , спираль быстро

«раскручивается» против часовой стрелки). Если же , начиная со значения , принимает неограниченно возрастающие по абсолютной величине отрицательные значения, то стремится к нулю — спираль закручивается по часовой стрелке, неограниченно приближаясь к точке О.

Общий вид логарифмической спирали дан на рис. 59.

Среди многочисленных замечательных свойств логарифмических спиралей отметим следующее: две подобные между собою логарифмические спирали конгруэнтны (т. е. могут быть совмещены посредством движения). Мы докажем важнейший частный случай этой теоремы, а именно следующий.

Рис. 59.

Пусть логарифмическая спираль дана своим уравнением

в определенной полярной системе координат. При растяжении (гомотетии) плоскости с центром в начале координат О и коэффициентом растяжения эта спираль переходит в ту же спираль, но повернутую на угол —с, где

В самом деле, при нашем растяжении каждая точка

переходит в точку

В частности, точка перейдет в точку . Значит, множество точек, удовлетворяющих уравнению

переходит в множество точек, удовлетворяющих уравнению

Другими словами, растянутая с коэффициентом растяжения k логарифмическая спираль имеет своим уравнением в полярных координатах уравнение

При повороте на угол —с точка переходит в точку . Значит, если точка удовлетворяла уравнению (5), то после поворота она перейдет в точку , удовлетворяющую уравнению

Это и будет уравнение нашей спирали, повернутой на угол —с; мы видим, что она совпадает с уравнением спирали, растянутой с коэффициентом растяжения k. Теорема доказана.

Замечание. Мы рассмотрели лишь случай читателю предлагается разобрать логарифмическую спираль при положительном При логарифмическая спираль, очевидно, превращается в окружность.

3° Кривая, уравнение которой в полярных координатах есть

при , имеет вид, указанный на рис. 60. Эта кривая иногда называется «трехлепестковой розой».

Рис. 60.