8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости.

Осью называется прямая, на которой одно из двух возможных направлений выделено как положительное (противоположное направление считается отрицательным). Положительное направление обозначается обычно стрелкой. Числовой (или координатной) осью называется ось, на которой выбрана начальная точка (или начало) О и единица масштаба или масштабный отрезок ОЕ (рис. 1).

Рис. 1.

Таким образом, числовая ось задается указанием на прямой направления, начала и масштаба.

С помощью точек числовой оси изображают действительные числа. Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием масштабного отрезка нужное число раз вправо от начала О в случае положительного целого числа и влево в случае отрицательного. Нуль изображается начальной точкой О (сама буква О напоминает о нуле; она является первой буквой слова origo, означающего «начало»). Дробные (рациональные) числа также просто изображаются точками оси; например, чтобы построить точку, соответствующую числу , следует отложить влево от О три масштабных отрезка и еще одну третью часть масштабного отрезка (точка А на рис. 1). Кроме точки А на рис. 1 показаны еще точки В, С, D, изображающие соответственно числа —2; 3/2; 4.

Рис. 2.

Целых чисел имеется бесконечное множество, но на числовой оси целые числа изображаются точками, расположенными «редко», целочисленные точки оси отстоят от соседних на единицу масштаба. Рациональные точки расположены на оси весьма «густо» — нетрудно показать, что на любом сколь угодно малом участке оси имеется бесконечно много точек, изображающих рациональные числа. Тем не менее на числовой оси имеются точки, которые не являются изображениями рациональных чисел. Так, если на числовой оси построить отрезок ОА, равный гипотенузе ОС прямоугольного треугольника ОЕС с катетами , то длина этого отрезка (по теореме Пифагора, п. 216) окажется равной и точка А не будет изображением рационального числа.

Исторически именно факт существования отрезков, длины которых не могут быть выражены числом (рациональным числом!), привел к введению иррациональных чисел.

В связи с этим рекомендуем прочитать п. 163.

Введение иррациональных чисел, которые в совокупности с рациональными образуют множество всех действительных чисел, приводит к тому, что каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число, изображением которого она служит. Напротив, каждое действительное число изображается вполне определенной точкой числовой оси. Между действительными числами и точками числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Поскольку мы числовую ось мыслим как непрерывную линию, а точки ее находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, то мы говорим о свойстве непрерывности множества действительных чисел (п. 6).

Заметим еще, что в некотором смысле (мы его не уточняем) иррациональных чисел несравненно больше, чем рациональных.

Число, изображением которого служит данная точка А числовой оси, называется координатой этой точки; тот факт, что а — координата точки А, записывают так: А (а). Координата любой точки А выражается как отношение ОА/ОЕ отрезка ОА к масштабному отрезку ОЕ, которому для точек, лежащих от начала О в отрицательном направлении, приписывают знак минус.

Рис. 3.

Введем теперь прямоугольные декартовы координаты на плоскости. Возьмем две взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и равные масштабные отрезки (на практике часто применяют и координатные оси с различными масштабными единицами). Скажем, что эти оси (рис. 3) образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка О называется началом координат, оси Ох и Оу - осями координат (ось Ох называют осью абсцисс, ось Оу - осью ординат). На рис. 3, как обычно, ось абсцисс расположена горизонтально, ось ординат — вертикально. Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел — координат этой точки относительно данной координатной системы. Именно, возьмем прямоугольные проекции точки М на оси Ох и Оу, соответствующие точки на осях Ох, Оу обозначены на рис. 3 через

Точка имеет, как точка числовой оси координату (абсциссу) х, точка как точка числовой оси координату (ординату) у. Эти два числа у (записанные в указанном порядке) и называются координатами точки М.

При этом пишут: (х, у).

Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие упорядоченная пара действительных чисел (х, у) - декартовы прямоугольные координаты этой точки. Термин «упорядоченная пара» указывает на то, что следует различать первое число пары — абсциссу и второе — ординату. Напротив, каждая пара чисел (х, у) определяет единственную точку М, для которой х служит абсциссой, а у — ординатой. Задание в плоскости прямоугольной декартовой системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре части, четыре квадранта. Квадранты нумеруются, как показано на рис. 3, римскими цифрами.

Рис. 4.

Знаки координат точки зависят от того, в каком квадранте она лежит, как указано в следующей таблице:

Точки, лежащие на оси имеют ординату у, равную нулю, точки на оси Оу — абсциссу равную нулю. Обе координаты начала О равны нулю: .

Пример 1. Построить на плоскости точки

Решение дается на рис. 4.

Если известны координаты некоторой точки то легко указать координаты точек, симметричных с ней относительно осей Ох, Оу и начала координат: точка, симметричная с М относительно оси Ох, будет иметь координаты точка, симметричная с М относительно координаты наконец, у точки, симметричной с М относительно начала, координаты будут (-х, -у).

Можно также указать связь между координатами пары точек, симметричных относительно биссектрисы координатных углов (рис. 5); если одна из этих точек М имеет координаты х и у, то у второй абсцисса равна ординате первой точки, а ордината — абсциссе первой точки.

Рис. 5.

Рис. 6.

Иначе говоря, координаты точки N, симметричной с М относительно биссектрисы координатных углов, будут Для доказательства этого положения рассмотрим прямоугольные треугольники О AM и OBN. Они расположены симметрично относительно биссектрисы координатного угла и потому равны. Сравнивая их соответственные катеты, убедимся в правильности нашего утверждения.

Систему декартовых прямоугольных координат можно преобразовать с помощью переноса ее начала О в новую точку О без изменения направления осей и величины масштабного отрезка. На рис. 6 показаны одновременно две системы координат: «старая» с началом О и «новая» с началом О. Произвольная точка М имеет теперь две пары координат, одну относительно старой координатной системы, другую относительно новой. Если координаты нового начала в старой системе обозначены через , то связь между старыми координатами точки М и ее новыми координатами (х, у) выразится формулами

Эти формулы называют формулами переноса системы координат; при их выводе по рис. 6 выбрано самое удобное положение точки М, лежащей в первом квадранте как старой, так и новой системы.

Можно убедиться, что формулы (8.1) остаются верны при любом расположении точки М.

Положение точки М на плоскости может быть задано не только ее декартовыми прямоугольными координатами у, но и другими способами. Соединим, например, точку М с началом О (рис. 7) и рассмотрим следующие два числа: длину отрезка и угол наклона этого отрезка к положительному направлению оси угол определяется как угол, на который надо повернуть ось до ее совмещения с ОМ, и считается положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, как это принято в тригонометрии Отрезок называется полярным радиусом точки М, угол полярным углом, пара чисел - полярными координатами точки М. Как видно, для определения полярных координат точки требуется задание только одной координатной оси Ох (называемой в этом случае полярной осью). Удобно, однако, рассматривать одновременно и полярные и декартовы прямоугольные координаты, как это сделано на рис. 7.

Рис. 7.

Полярный угол точки определяется заданием точки неоднозначно: если - один из полярных углов точки, то и всякий угол

будет ее полярным углом. Задание полярного радиуса и угла определяет положение точки единственным образом. Начало О (называемое полюсом полярной системы координат) имеет радиус, равный нулю, никакого определенного полярного угла точке О не приписывается.

Между декартовыми и полярными координатами точки имеются следующие соотношения:

непосредственно вытекающие из определения тригонометрических функций (п. 97). Эти соотношения позволяют находить декартовы координаты по заданным полярным. Следующие формулы:

позволяют решать обратную задачу: по данным декартовым координатам точки находить ее полярные координаты.

При этом по значению (или ) можно найти два возможных значения угла в пределах первого круга; по знаку соэф выбирается одно из них. Можно также определять угол по его тангенсу: , но и в этом случае четверть, в которой лежит уточняется по знаку соэф или .

Точка, заданная своими полярными координатами, строится (без вычисления декартовых координат) по своему полярному углу и радиусу.

Пример 2. Найти декартовы координаты точек .

Решение. По формулам (8.3) находим:

1) для точки А находим ;

2) для точки В: .

Пример 3. Найти полярные координаты точек (заданных декартовыми координатами)

Решение. Находим по формулам (8.4):

1) для точки для точки В: (с учетом знаков ).

Пример 4. Построить точки по их полярным координатам:

Решение показано на рис. 7.

Упражнения

1. Найти чисел: а) 48 и 54; б) 245, 105 и 441.

2. Найти чисел: а) 90 и 120; б) 363, 440 и 198.

3. Доказать, что нескольких чисел делится на их н.о.д.

4. Показать, что если , то .

5. Чему равны целые и дробные части чисел:

Записать числа в искусственной форме.

6. Обратить в десятичные дроби следующие обыкновенные дроби:

7. Обратить в обыкновенные дроби следующие десятичные дроби: а) ; б) .

8. Найти абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при замене числа его приближенным значением 8,84.

9. Что можно сказать о точном значении некоторого числа, если его приближенное значение найдено с абсолютной погрешностью

Указать верные и сомнительные цифры приближенного числа если .

11. Округлить приближенное число при сохранив одну сомнительную цифру.

12. Записать, применяя нули, следующие приближенные числа: а) ; б) ; в) .

13. Построить_на числовой оси точки

Указание. Отрезок длиной можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 1 и (построение отрезка длиной рассматривалось в тексте).

14. Построить на плоскости точки .

15. Дана точка Указать координаты точек, симметричных с А относительно оси оси начала координат, биссектриссы I—III координатных углов.

16. Показать, что точки симметричны относительно биссектрисы II—IV координатных углов.

17. Построить точки по их полярным координатам: А Найти декартовы координаты этих точек.

18. Найти полярные координаты точек (заданных декартовыми координатами) .