5. ПРУЖИННЫЕ АКСЕЛЕРОМЕТРЫ

Схемы пружинных акселерометров. Принципиальная схема пружинного акселерометра, предназначенного для измерения линейных ускорений, приведена на рис. VII. 13.

Рис. VII. 13. Схема пружинного акселерометра для измерения линейных ускорений

Чувствительным элементом служит инерционная масса подвешенная на двух пружинах 2, прикрепленных в точках к корпусу 3, жестко связанному с движущимся объектом. Линия называемая измерительной осью, параллельна той оси движущегося объекта, по которой нужно измерить ускорение х. При отсутствии ускорений натяжение пружин одинаково и масса располагается в среднем (нейтральном) положении. Если объект движется с постоянным линейным ускорением х, то масса перемещается на некоторую величину при которой инерционная сила возникающая вследствие ускоренного движения массы в абсолютном пространстве, уравновешивается силой Рупр упругости пружин. Выражая эти силы через параметры прибора

где — инерционная масса;

— суммарная жесткость двух, пружин, получим условие равновесия (при ):

отсюда величина установившегося смещения массы

где — чувствительность прибора;

Для успокоения колебаний инерционной массы в переходном режиме служит демпфер 4, создающий силу, пропорциональную скорости перемещения массы относительно корпуса 3. Применяют магнитноиндукционные, жидкостные или воздушные демпферы. У воздушных демпферов из-за сжимаемости воздуха демпфирующая сила запаздывает по отношению к скорости движения подвижной системы, что является их недостатком. Для получения электрического сигнала перемещение массы преобразуется в электрическую величину с помощью потенциометрического преобразователя 5. Могут быть использованы также индуктивные, емкостные и другие преобразователи.

Инструментальные погрешности акселерометров возникают в результате влияния ряда внешних и внутренних факторов, к числу которых относятся силы трения и люфты в опорах и направляющих, гистерезис и упругое последействие измерительной пружины, изменение модуля упругости пружины при изменении окружающей температуры, неравномерность характеристики преобразователя перемещений, изменение характеристики преобразователя перемещений при изменении окружающей температуры и режимов электрического питания и др. Точность акселерометра определяется главным образом величиной рассеяния погрешностей относительно среднего значения. Мерой рассеяния служит среднее квадратическое отклонение погрешности, величина которого в значительной степени зависит от соотношения между силами трения в опорах и направляющих и инерционными силами, развиваемыми массой при ее движении с ускорением. В связи с этим одним из наиболее ответственных элементов конструкции является подвес подвижной системы акселерометра, обеспечивающий необходимую степень свободы инерционной массы. Конструкция также должна обеспечивать сведение к минимуму влияния боковых ускорений, направленных перпендикулярно измерительной оси. Конструкция подвеса с направляющей для поступательного движения инерционного элемента проста (рис. VII. 14,а), но обладает значительной нечувствительностью, величина которой пропорциональна составляющей ускорения у, направленной перпендикулярно оси чувствительности и прижимающей массу к направляющей. Подвеска массы на направляющей с трением качения (см. рис. VII. 14, б) более рациональна. Зона нечувствительности при этом для одинаковой массы уменьшается примерно в раз (где R — радиус ролика, — радиус опорной цапфы ролика).

Маятниковый подвес инерционной массы (рис. VII. 15) позволяет уменьшить зону нечувствительности. Измерительная ось

такого элемента перпендикулярна линии соединяющей ось вращения с центром тяжести маятника, находящегося в нейтральном положении.

Рис. VII. 14. Подвес инерционной массы на направляющей: а — с трением скольжения; б — с трением качения

При постоянном линейном ускорении направленном по измерительной оси равновесному положению маятника 1 при отклонении от нейтрали будет соответствовать угол а (рис. VII. 16), при котором момент инерционной силы уравновешивается моментом пружины 2:

где — масса маятника;

— расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника; — угловая жесткость пружины.

Рис. VII. 15. Маятниковый подвес

Рис. VII. 16. Схема действия инерционных сил на маятниковый чувствительный элемент

Как видно угол а не пропорционален ускорению х. При малых а можно приближенно считать установившийся угол отклонения маятника пропорциональным линейному ускорению:

где — чувствительность прибора;

Маятниковый подвес по сравнению с подвесом на направляющих позволяет уменьшить зону нечувствительности при одинаковой массе примерно в раз, где — радиус опорной цапфы маятника.

При одновременном действии продольного и поперечного ускорений х и у (рис. VII. 16, б) условием равновесия системы будет равенство нулю алгебраической суммы моментов инерционных сил и сил упругости пружины:

При малых углах можно принять Тогда откуда

Пользуясь выражениями (VII.18) и (VII.19), можно определить относительную ошибку в измерении ускорения х, возникающую под влиянием ускорения у:

поскольку

Таким образом, относительная ошибка маятникового акселерометра, вызванная влиянием боковых ускорений, уменьшается с понижением чувствительности Эту ошибку, как и ошибку, обусловленную влиянием угловых ускорений, действующих вокруг оси подвеса, можно скомпенсировать применением двух параллельных маятников, кинематически связанных между собой антипараллелограммом (рис. VII.17, а) или парой зубчатых масс (рис. VII. 17, б).

Для устранения сил сухого трения, люфтов и исключения влияния поперечных ускорений у и угловых ускорений в линейных акселерометрах иногда применяют упругий подвес (рис. VII.18) с закреплением инерционной массы на двух плоских пружинах или мембранах.

Пружинные акселерометры, предназначенные для измерения угловых ускорений, отличаются тем, что обладают лишь одной степенью свободы вращательного движения относительно измерительной оси (рис. VII. 19).

Мерой измеряемого углового ускорения служит угловое перемещение а инерционной массы 2, при котором момент инерционных сил Мин уравновешивается моментом упругих сил Мупр противодействующей пружины 1. Выражая моменты через параметры прибора

где — момент инерции массы относительно оси — угловатая жесткость пружины,

получим условие равновесия

Отсюда установившийся угол поворота массы

Угловой акселерометр содержит демпфер 4, потенциометр 3 или преобразователь угловых перемещений другого типа. Инструментальная точность угловых акселерометров определяется в основном теми же факторами, что и точность линейных акселерометров.

Рис. VII. 17. Кинематические схемы компенсации влияния поперечных ускорений у и угловых ускорений а — схема с антипараллелограммом; б — схема с зубчатой передачей

Рис. VII. 18. Упругий подвес линейного акселерометра: 1 — масса; 2 и 3 — плоские пружины

Конструкция подвеса должна обеспечивать минимальный момент трения и люфт. Подвес углового акселерометра должен минимизировать влияние угловых ускорений относительно осей, перпендикулярных измерительной оси а также влияние линейных ускорений, направленных по любой оси. Для этого инерционная масса должна быть тщательно сбалансирована относительно оси вращения.

В конструкции углового акселерометра могут быть использованы опоры с трением скольжения, с трением качения (шарикоподшипники) и упругие подвесы (рис. VII.20).

В прецизионных акселерометрах, предназначенных для измерения как линейных, так и угловых ускорений, применяют специальные виды подвесов, позволяющих снизить порог чувствительности акселерометра до весьма малого уровня. К таким относится поплавковый акселерометр, в котором маятник помещен внутрь пустотелого цилиндрического поплавка, погруженного в жидкость. Объем поплавка выбирают из расчета равенства подъемной силы весу подвижной системы. Трение поверхности поплавка о жидкость можно использовать для создания демпфирующего момента. В

случае несовпадения центра гидростатических сил с осью вращения поплавка возникает дополнительная погрешность акселерометра при изменении окружающей температуры, поскольку изменяются удельный вес жидкости и, соответственно, подъемная сила поплавка. Для уменьшения этой погрешности применяют объемную балансировку поплавка с целью совмещения центра гидростатических сил с осью вращения и термостатируют прибор. В прецизионных акселерометрах могут быть использованы и другие способы снижения трения в опорах подвеса, например, возможно использование газодинамических опор, взвешивание инерционной массы в электромагнитном или электростатическом поле и др.

Рис. VII. 19. Схема пружинного акселерометра для измерения угловых ускорений

Рис. VII.20. Упругий подвес углового акселерометра: а — с торсионом; б — с крестообразным пружинами

Динамические характеристики акселерометров. Уравнение движения подвижной системы акселерометра для измерения линейных ускорений (см. рис. VII. 13) можно записать в виде

где х — измеряемое ускорение;

— относительные ускорение, скорость и перемещение массы

— коэффициенты демпфирования и жесткость.

Разделив все члены уравнения (VI 1.21) на си перепишем его следующим образом:

где — постоянная времени акселерометра; степень успокоения

Принимая х за входную координату, — за выходную, получим передаточную функцию акселерометра в виде

Уравнение движения подвижной системы акселерометра, измеряющего угловые ускорения (рис. VII. 19), имеет вид

или

где — измеряемое угловое ускорение;

— относительное угловое ускорение, скорость и отклонение массы;

— момент инерции массы; — коэффициент углового демпфирования и жесткость;

Принимая за входную, за выходную величину, получим передаточную функцию, аналогичную (VI 1.23). Установим связь между собственной частотой <и диапазоном измерения акселерометра. Для акселерометра, измеряющего линейные ускорения с поступательным перемещением массы, собственная частота недемпфированных колебаний

где — диапазон измерения;

— максимальный ход массы, отвечающий в статике ускорению .

Обозначив — ускорение силы тяжести), можно собственную частоту выразить через — статический прогиб массы под влиянием силы тяжести:

Для акселерометра с маятниковым подвесом (рис. VII. 15) выражение для собственной частоты имеет вид

где — максимальное линейное перемещение центра тяжести;

— линейное перемещение центра тяжести под действием силы веса;

— максимальный угол поворота маятника, соответствующий в статике ускорению

- момент инерции подвижной системы;

— момент инерции маятника с массой подвижной системы, условно сосредоточенной в центре ее тяжести;

— коэффициент увеличения момента инерции из-за пространственной протяженности массы.

Наконец, для акселерометра, измеряющего угловые ускорения с диапазоном измерения имеем:

откуда собственная частота

где — максимальный угол поворота инерционного элемента, отвечающий в статике угловому ускорению г|Зт.

Рассмотрим теперь зависимость динамической ошибки акселерометра от его параметров и условий измерения.

При собственных колебаниях подвижной системы акселерометра в уравнениях (VI 1.22) и (VI 1.24) получается одинаковый результат для относительной динамической ошибки:

где

— установившиеся значения ; х — безразмерное время;

Принимая безразмерное время, в течение которого динамическая ошибка 6 уменьшается до допустимой величины и впредь не будет ее превышать, за длительность переходного процесса хппу находим оптимальное значение при котором величина будет минимальной.

Рис. VII.21. Графики безразмерной динамической ошибки

Графики безразмерной динамической ошибки в соответствии с выражением (VI 1.25) показывают, что оптимальным будет такое значение при котором минимум функции (VI 1.25) после первого перехода ее через нуль соответствует нижней границе допустимой ошибки, т. е. кривой 1 на (рис. VII.21). Этой кривой соответствует минимальное время переходного процесса соответствующее допустимой ошибке в точке А.

Допустим, что Тогда период колебаний увеличивается, функция (VI 1.25) будет изображаться кривой 2, которая располагается правее кривой 1 и входит в зону допустимых ошибок в точке В, для которой

При период колебаний уменьшается, но минимум функции выходит за пределы зоны , следовательно, время переходного

него процесса будет определяться по кривой 3, вторым ее пересечением с нижней границей, зоны в точке С, для которой

Итак, задача отыскания оптимального сводится к определению такого его значения, при котором первый минимум равен — едоп. Поскольку безразмерный период колебаний по уравнению (VI 1.25) равен а первый минимум 8 располагается через половину периода (считая от нуля), то искомое условие для оптимального получим, если в выражении (VI 1.25) заменим и приравняем . Тогда

или

отсюда

Минимальное значение можно найти, подставляя величину в уравнение (VI 1.25) и приравнивая

Это уравнение не имеет явного решения относительно но численно может быть решено для любых значений гдоп и

В табл. VII. 1 приведены значения и вычисленные по уравнениям (VI 1.26) и (VI 1.27) для различных значений гдоп (режим собственных колебаний).

Действительное минимальное время переходного процесса (в сек) будет обратно пропорционально собственной частоте недемпфированных колебаний акселерометра.

Таблица VI 1.1

Зависимость безразмерных параметров акселерометра от

Например, при Мсек получим

Для вынужденных колебаний акселерометра ограничимся рассмотрением лишь синусоидального закона изменения входной величины

где А — амплитуда входного ускорения;

х — входная величина;

— круговая частота.

Установившиеся колебания выходной величины определяемые подстановкой в выражение передаточной функции (VI 1.23), вычисляются по формуле

где В — амплитуда колебаний выходного сигнала,

Обозначив получим коэффициент увеличения амплитуды:

Сдвиг фаз выходного сигнала равен

Если сдвиг фаз не регламентирован, то выбор оптимального значения при синусоидальном характере изменения измеряемого ускорения зависит от допустимой ошибки по амплитуде . В этом случае имеется оптимальное значение при котором полоса пропускания частот будет максимальной. Под полосой пропускания частот понимается предельное значение , при котором коэффициент х не выходит за пределы .

Рис. VI 1.22. Амплитудно-частотные характеристики

Наибольшей полосе пропускания соответствует значение при котором максимум амплитудно-частотной характеристики совпадает с верхней границей зоны допустимой динамической ошибки (кривая 1 на рис. VI 1.22). При этом полоса пропускания определяется точкой А пересечения кривой 1, построенной по уравнению (VII.28) с нижней границей зоны допустимой ошибки. Эта полоса пропускания и Является максимальной,

Предположим, что . В этом случае функция изображается кривой 2, ниспадающая ветвь которой проходит левее кривой 1 и пересекает нижнюю границу зоны в точке В, для которой

Если же то максимум функции выходит за пределы верхней границы и, следовательно, полоса пропускания будет определяться по кривой 3. Эта кривая первый раз пересекает верхнюю границу зоны в точке С, для которой

Таким образом, задача отыскания оптимального сводится к нахождению такого значения Е, для которого максимум функции (VI 1.28) равен .

Для нахождения максимума х произведем в уравнении (VI 1.28) замену и приравняем нулю первую производную по у:

Первое решение, получаемое при соответствует минимуму х, а второе — максимуму х, которое получается, если приравнять числитель нулю:

откуда

Подставляя полученное значение в уравнение (VI 1.28) и приравнивая , находим условие для оптимального коэффициента

отсюда

Максимальную безразмерную полосу пропускания частот можно определить, подставляя в уравнение (VI 1.28) значения ,

отсюда, заменив предварительно по формуле (VI 1.29) получим

В общем случае колебания линейной измерительной системы акселерометра складываются из собственных и вынужденных колебаний. График переходной функции при этом определяется полным решением дифференциального уравнения (VI 1.22) или (VI 1.24) и зависит от характера изменения ускорения, измеряемого акселерометром [6].

Таблица VI 1.2

Зависимость безразмерных параметров акселерометра от

В табл: VI 1.2 приведены значения вычисленные по уравнениям (VI 1.29) и (VI 1.30) для различных значений гдоп (режим вынужденных колебаний).

Действительная максимальная полоса пропускания будет пропорциональна собственной частоте недемпфированных колебаний акселерометра.

Например, при