7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ВЕРТИКАЛИ

Гироскопические вертикали предназначены для определения направления истинной вертикали на движущихся объектах, т. е. для измерения и задания углов крена и тангажа ЛА, крена и диферента корабля и других объектов, а также для сохранения заданного углового положения прицела относительно плоскости горизонта и т. д.

На неподвижном основании направление истинной вертикали определяют жидкостным уровнем с воздушным пузырьком или любым короткопериодическим физическим маятником.

Короткопериодический маятник, установленный на корабле или ЛА, при изменении скорости или направления движения объекта отклоняется к направлению кажущейся вертикали. Кажущаяся вертикаль совпадает с направлением равнодействующей всех ускорений, действующих в точке подвеса маятника, включая ускорение силы тяжести (считая его направленным вверх). Следовательно, он не пригоден для непосредственного определения и задания направления истинной вертикали. В отличие от маятника свободный гироскоп не подвержен действию ускорений и сохраняет направление оси фигуры в абсолютном пространстве неизменным.

Если ось ротора гироскопа установить по истинной вертикали, то с течением времени она отклонится от этого направления вследствие суточного вращения Земли.

Для придания гироскопу избирательности к истинной вертикали он корректируется с помощью физического маятника. При этом одновременно используется способность физического маятника

различать направление истинной вертикали при установившемся движении корабля или самолета и способность свободного гироскопа сохранять направление оси фигуры неизменным в абсолютном пространстве.

Гироскопический маятник [2], [10]. Простейшей гировертикалью является гироскопический маятник, представляющий собой гироскоп, центр тяжести которого смещен вдоль оси его ротора и не совпадает с неподвижной точкой О (рис. VIII. 19).

Рис. VIII. 19. Гироскопический маятник: 1 — ротор; 2 — внутренняя рамка; 3 — наружная рамка; 4 — основание

Движение оси ротора гироскопа будем определять в относительной системе координат Эта система таким образом связана с траекторией движения объекта, что ось совпадает с направлением истинной вертикали, ось сферической нормалью к траектории объекта, а ось перпендикулярна первым двум и образует вместе с осями правую систему координат.

Подвижная ось координат направлена по оси ротора гироскопа, ось х — по оси внутренней рамки кардана, а ось у — перпендикулярна им таким образом, чтобы система также была правой.

Положение подвижной системы координат по отношению к трехграннику задается углами причем угловые скорости направлены по осям Полагая углы а и Р малыми и пренебрегая угловой скоростью суточного вращения Земли и моментами трения в осях карданова подвеса, получим приближенные уравнения прецессии гиромаятника, установленного, например, на корабле, движущемся с ускорением по направлению ортодромии, а именно:

где — собственный (или кинетический) момент гироскопа;

— вес гироскопа (рамки кардана считаем невесомыми);

— расстояние от центра тяжести гироскопа до точки пересечения осей карданова подвеса;

масса гироскопа;

— скорость движения корабля.

Обозначая частоту собственных колебаний гиромаятника через получим

Если принять, что в уравнениях (VIII.86) частота собственных колебаний гиромаятника равна частоте собственных колебаний математического маятника, длина которого равна радиусу Земли, т. е.

то получим

и

Частное решение уравнений (VIII.88) при любой функции имеет вид

а общее решение

и

где — случайные начальные отклонения оси ротора гироскопа от истинной вертикали.

Уравнения (VIII.89) и (VIII.90) показывают, что если в начале движения корабля ось ротора гиромаятника совпадала с направлением истинной вертикали, то в процессе движения она отклоняется от истинной вертикали лишь на величину скоростной девцации а в направлении к борту. Это отклонение совершается независимо от закона изменения скорости корабля, т. е. гиромаятник не обладает баллистическими погрешностями. При отклонении гиромаятника от истинной вертикали на угол а на гироскоп действует момент а от веса маятника, который Вызывает прецессию оси ротора гироскопа с угловой скоростью, равной угловой скорости поворота истинной вертикали в абсолютном пространстве.

При изменении скорости движения корабля на гироскоп действует также инерционный момент, развиваемый маятником и равный Если условие (VIII.87) выполняется, то гироскоп под влиянием

этого момента прецессирует в направлении к борту с такой угловой скоростью, что он неизменно оказывается в положении, соответствующем частному решению (VIII.89) уравнений (VIII.88). При случайном отклонении оси ротора гироскопа от положения равновесия, определяемого уравнениями (VIII.89) (например, вследствие трения в осях карданова подвеса), ось ротора гироскопа совершает незатухающие собственные колебания около положения равновесия. Период этих колебаний равен

Для обеспечения затухания собственных колебаний гиромаятника применяют специальные устройства: сообщающиеся сосуды, заполненные жидкостью, или дополнительные маятниковые устройства, которые управляют воздушной струей, выбрасываемой ротором гироскопа.

Рис. VIII.20. Гировертикаль с маятниковым корректирующим устройством

Рис. VIII.21. К составлению уравнений движения гировертикали

Однако в этом случае в гироскопическом маятнике при ускорении возникают возмущающие моменты.

Если не выполняется условие (VI 11.87), то возникают также баллистические погрешности гиромаятника.

Практически изготовление гиромаятника с периодом, равным 84,4 мин, связано со значительными техническими трудностями.

Гиромаятниковые вертикали в сочетании с разного рода демпфирующими устройствами не получили широкого распространения. На кораблях и самолетах применяются гировертикали, представляющие собой астатические гироскопы, движение которых корректируется специальными маятниковыми устройствами.

Гироскопические вертикали с маятниковым корректирующим устройством [1], [7]. Гироскопические вертикали (рис. VIII.20) с маятниковыми корректирующими устройствами применяют в авиации и морском флоте. В качестве маятникового чувствительного элемента гировертикали используется жидкостной переключатель 4,

а коррекционные моменты накладываются на гироскоп с помощью асинхронных электродвигателей 2 и 3 с заторможенными роторами.

Питание управляющих обмоток осуществляется через маятниковый переключатель 4, представляющий собой жидкостной реостат. Корректирующее устройство имеет пропорциональную характеристику с ограничением или характеристику типа гистерезисной петли.

Если в процессе полета корректирующее устройство работает в зоне пропорциональности, то величина момента коррекции (рис. VIII.21) определяется по формулам:

Используя прецессионные уравнения движения с учетом моментов трения в подшипниках карданова подвеса при малых углах получим:

или

где — углы отклонения оси ротора от гировертикали; — эффективность коррекции;

— скорость прецессии гироскопа при действии моментов трения;

Е — крутизна характеристики корректирующего устройства;

— моменты трения в подшипниках осей наружной и внутренней рамок карданова подвеса;

— угловая скорость виража.

Уравнения прецессии гироскопа позволяют определить погрешности гировертикали на неподвижном основании:

погрешность гировертикали при полете с ускорением

и максимальную погрешность гировертикали на вираже:

при

Гироскопические вертикали с релейной или гистерезисной характеристикой корректирующего устройства также обладают погрешностями при полете с ускорением и на вираже.

При определении скоростной погрешности гировертикали необходимо учитывать суточное вращение Земли и движение самолета по отношению к Земле. Максимальная угловая скорость поворота направления истинной вертикали в абсолютном пространстве равна сумме переносной угловой скорости и суточного вращения Земли и относительной угловой скорости облета вокруг Земли

где R — радиус Земли.

Для того чтобы ось ротора гироскопа следила за направлением истинной вертикали, на гироскоп должен действовать момент, равный Такой момент развивает корректирующее устройство, и положение равновесия гировертикали определится равенством моментов

Из выражения (VIII.98) найдем

Последняя формула определяет максимальную величину скоростной погрешности гировертикали с пропорциональной коррекцией.

Выходными координатами прибора являются Рассмотрим динамические погрешности по координате . В прямолинейном полете возмущением поданной координате является угол отклонения кажущейся вертикали от истинной и угловая скорость поворота направления истинной вертикали в абсолютном пространстве,

Тогда

где — постоянная времени коррекции.

Первое слагаемое определяет баллистические погрешности в динамике, второе — скоростные. С увеличением эффективности коррекции возрастают баллистические погрешности и уменьшаются скоростные.

Для уменьшения возможно применение апериодических и колебательных фильтров в контуре коррекции с большими постоянными времени.

Сигналы, пропорциональные углам, крена и тангажа самолета (крена и диферента корабля), снимаются с потенциометрических датчиков 1 и 5 (рис. VIII. 20). Напряжения, снимаемые со щеток, в первом приближении определяются по формулам

где — углы тангажа и крена самолета;

— соответствующие коэффициенты усиления сигналов, снимаемых с потенциометрических датчиков угла.

Для идеальной гировертикали , следовательно,

Для уменьшения баллистических погрешностей гировертикалей иногда ось ротора гироскопа наклоняют в направлении движения корабля или самолета на угол, пропорциональный скорости его движения.

В некоторых случаях для уменьшения баллистических погрешностей при движении самолета с ускорением корректирующие устройства выключают.

Гироскопические вертикали повышенной точности. При определении погрешностей гировертикалей повышенной точности нельзя считать, что направление кажущейся вертикали в установившемся режиме полета совпадает с направлением истинной вертикали. Дело в том, что полет самолета следует рассматривать как сложное движение: полет самолета относительно Земли, траектория которого определяется средствами навигации и пилотирования (относительное движение), и движение самолета вместе с Землей (переносное движение). При этом, если самолет летит по ортодромии (дуга большого круга Земли), то вектор скорости вследствие суточного вращения Земли поворачивается вокруг направления истинной вертикали с угловой скоростью и возникает поворотное ускорение, направленное по отрицательной оси (см. рис. VIII. 21) и равное

вследствие чего направление кажущейся вертикали отклоняется от истинной в плоскости на угол

Если полет происходит по локсодромии (линия равных курсов), то вектор приобретает дополнительную угловую скорость вращения вокруг направления истинной вертикали, равную угловой скорости поворота географического трехгранника вокруг оси , а именно

где — восточная составляющая скорости полета.

Вследствие этого возникает центростремительное ускорение

которое направлено по отрицательной оси . При этом кажущаяся вертикаль еще отклоняется в плоскости на угол

При этом любой физический маятник в установившемся режиме полета с неизменным географическим курсом оказывается отклоненным от направления истинной вертикали на угол

Рассмотрим движение гировертикали (см. рис. VIII. 21) в полете в предположении, что в начале движения ось ротора гироскопа направлена по истинной вертикали (ось ), а оси у и х совпадают с осями и 5 соответственно. Предположим, что корректирующее устройство гировертикали, показанное на рис. VIII.20, выключено, и гировертикаль представляет собой астатический гироскоп, ось ротора которого сохраняет неизменное направление в абсолютном пространстве. При этом угловая скорость вращения направления истинной вертикали (ось в абсолютном пространстве будет

и ось ротора свободного гироскопа в рассматриваемый момент времени отклоняется от направления истинной вертикали с угловыми скоростями:

Если представить, что вокруг оси кардана гировертикали действуют коррекционные моменты, соответственно равные то скорости отклонения оси ротора гироскопа от направления истинной вертикали будут

Пусть с помощью специального счетно-решающего механизма формируются моменты коррекции в соответствии с уравнениями

где — соответственно широта места и курс самолета, определяемые с помощью счетно-решающего устройства; и — соответствующие коэффициенты пропорциональности. Тогда

где

Таким образом,

Если параметры счетно-решающего устройства подобрать так, чтобы уравнения (VIII. 104) обращаются в тождества:

при условии, что в начале движения направление оси ротора гироскопа совпадает с направлением истинной вертикали, т. е. при

Физический смысл такой коррекции заключается в том, что моментные датчики развивают моменты, создающие прецессию гироскопа со скоростью, соответствующей угловой скорости поворота истинной вертикали в инерциальном пространстве.

Рассмотренную выше некорректируемую от маятника гировертикаль использовать в продолжительном полете не представляется возможным, однако ее можно применять кратковременно во время маневра самолета. Для уменьшения погрешностей в установившемся полете и придания гировертикали свойств избирательности по отношению к направлению истинной вертикали применяют радиальную коррекцию, осуществляемую от физического маятника. Положение равновесия гировертикали с радиальной коррекцией в установившемся полете определяется из уравнений и

где — угловая скорость поворота вектора V вокруг Оси отсчитываемая относительно Земли.

Первый член первого уравнения (VIII. 106) и оба члена, стоящие в правой части второго уравнения, определяют скоростную погрешность гировертикали.

Второй член первого уравнения (VIII. 106) представляет собой погрешность, порождаемую поворотным, или кориолисовым, ускорением.

Третий член первого уравнения (VIII. 106) является навигационной погрешностью гировертикали, зависящей от метода навигации. Так, например, при полете по ортодромии , следовательно, навигационная погрешность равна нулю.

При полете по локсодромии навигационная погрешность

Величина погрешности, порождаемой кориолисовым ускорением, и навигационной погрешности гировертикали не зависит от крутизны радиальной коррекции.

Погрешность, порождаемую кориолисовым ускорением, и навигационную погрешность можно вычислить и устранить с помощью счетно-решающего механизма. При этом повышение точности гировертикали с радиадьной коррекцией достигается путем создания комплексной системы, включающей в себя гироскопическую вертикаль и счетно-решающий механизм, построенный с использованием навигационного автомата.

Гироскопические вертикали для самолетов, выполняющих фигуры высшего пилотажа [1], [7]. При рассмотрении погрешностей гироскопических вертикалей при различных условиях полета предполагалось, что ось наружной рамы карданова подвеса гироскопа расположена параллельно продольной оси самолета. При такой

установке прибора погрешность показаний гироскопической вертикали не зависит от величины угла крена самолета на вираже. При пикировании самолета (рис. VIII.22), когда ось наружной рамки кардана приближается к совмещению с осью ротора гироскопа, т. е. угол Я мал, точность показаний прибора существенно зависит от угла тангажа самолета.

Рис. VIII.22. Движение гироскопа при сближении осей рамок карданова подвеса

Основная трудность создания гировертикалей для самолетов, выполняющих фигуры высшего пилотажа, заключается в том, что при совмещении оси ротора гироскопа с осью наружной рамки гироскоп теряет одну степень свободы, а следовательно, теряет специфические свойства гироскопа.

При совмещении этих осей под действием момента Мн вследствие потери гироскопических свойств рамка вместе с кожухом начнет ускоренно вращаться вокруг оси наружной рамки карданова подвеса.

Таким образом, при совмещении оси ротора гироскопа и оси наружной рамки кардана правильность показаний прибора при выполнении самолетом фигур высшего пилотажа не может быть гарантирована. Для предотвращения совмещения осей применяют различные устройства. Вариант такого устройства с неподвижным упором представлен на рис. VIII.23.

Рис. VIII.23. Гировертикаль с упором: 1 — упор; 2 — стержень; 3 — шайба; 4 — кожух; 5 — полая ось; 6 — наружная рамка

Через полую ось 5 наружной рамки карданова подвеса пропущен упор 1, а на кожухе 4 ротора гироскопа установлен стержень 2 с шайбой 3.

При опасном сближении оси ротора гироскопа с осью наружной рамки 6 кардана шайба соприкасается с неподвижным упором, и реакция упора создает реактивный момент, вектор которого направлен по оси внутренней рамки кардана. Этот момент вызывает прецессию гироскопа вокруг оси наружной рамки кардана. Шайба 3, скользя по поверхности упора 1, обойдет его, и совмещения осей не произойдет. Однако при таком способе предотвращения совмещения осей после совершения фигуры высшего пилотажа гироскоп все-таки отклоняется от направления истинной вертикали на угол, по меньшей мере, равный углу недохода оси ротора до совмещения с осью рамки.

Другим примером прибора, применяемого на самолетах, выполняющих фигуры высшего пилотажа, может служить авиагоризонт, показанный на рис. VIII.24. В этом авиагоризонте угол между осью наружной рамки кардана и осью ротора гироскопа автоматически поддерживается примерно равным 90° при любых эволюциях самолета, благодаря чему гироскоп сохраняет постоянно свою максимальную устойчивость. При этом гиромотор 6 (рис. VIII.24) и наружная рамка 5 подвешены на подшипниках в следящей рамке 4, которая автоматически удерживается электродвигателем 1 в таком положении, чтобы ось рамки 5 была перпендикулярна к оси ротора гироскопа.

Рис. VIII.24. Кинематическая схема АГИ: 1 — электродвигатель отработки; 2 — контакт выключателя; 3 — выключатель электродвигателя; 4 — следящая рамка; 5 — наружная рамка карданова подвеса; 6 — гиромотор; 7 — сферическая шкала; 8 — силуэт самолета

Чувствительным элементом, регистрирующим нарушение перпендикулярности осей и включающим электродвигатель который восстанавливает перпендикулярность осей, является выключатель 3, укрепленный на наружной рамке 5, и скользящий контакт 2, связанный с кожухом гиромотора.

Прецизионные гировертикали [7]. Важным элементом в инерциальной системе является прецизионная (точная) гировертикаль.

Рассмотрим основные принципы ее построения.

Рис. VIII.25. Анализ движения прецизионной гировертикали

В некоторых случаях для определения направления истинной вертикали используется астатический гироскоп. При этом в начале полета ось ротора астатического гироскопа совмещают с направлением истинной вертикали. В процессе полета вследствие того, что направление истинной вертикали поворачивается в пространстве с угловой скоростью, равной (рис. VIII.25), а астатический гироскоп сохраняет направление неизменным в абсолютном пространстве, ось ротора гироскопа отклоняется от направления истинной вертикали с угловой скоростью где — абсолютная линейная скорость самолета.

Абсолютная линейная скорость составляет сумму относительной V и переносной линейной скорости, возникающей

вследствие суточного вращения Земли. Максимальная угловая скорость поворота направления истинной вертикали в пространстве равна

Для уменьшения скорости отклонения оси ротора гироскопа от направления истинной вертикали с помощью моментного датчика наложим на гироскоп момент внешних сил, равный М (рис. VIII.25).

Под действием момента М гироскоп прецессирует с угловой скоростью

Если в начале движения ось ротора гироскопа совпадает с направлением истинной вертикали, а затем угловая скорость поворота оси ротора гироскопа равна угловой скорости поворота направления истинной вертикали в пространстве, то ось ротора гироскопа неизменно следит за направлением истинной вертикали.

При

откуда

Рис. VIII.26. Влияние составляющей силы тяжести при наклоне акселерометра гировертикали

Если ось ротора гироскопа направлена по истинной вертикали, то с акселерометра, установленного на кожухе гироскопа и расположенного в горизонтальной плоскости, снимается сигнал, пропорциональный ускорению Если акселерометр отклонен от плоскости горизонта (рис. VIII.26), то сила, «действующая» на акселерометр,

При малых углах сигнал, снимаемый с акселерометра, будет

где — коэффициент пропорциональности.

После интегрирования сигнала имеем

или

Если предположить, что в соответствии с начальными условиями и ось ротора гироскопа следит направлением истинной вертикали, то и

а корректирующий момент

выбирая

получим

В этом случае и ось ротора гировертикали следит за направлением истинной вертикали.

Однако вследствие действия моментов сил сопротивления в подшипниках осей карданова подвеса, остаточной несбалансированности элементов гироскопа и других причин реальный гироскоп подвержен возмущениям и предположение о равенстве нарушается.

Имея в виду соотношения (VIII. 109) и (VIII. 110), получим выражение для корректирующего момента

Составим уравнения движения гировертикали. Замечая, что гироскопический момент, действующий вокруг оси наружной рамки кардана,

и учитывая действие корректирующего момента (VIII. 112), имеем

или

Дифференцируя равенство (VIII. 113), получим

Если выбрать параметры коррекции так, чтобы выполнялось условие

то по-прежнему имеем

и дифференциальное уравнение (VIII. 114) движения гировертикали принимает вид

или, используя условие (VIII. 116), получим однородное линейное дифференциальное уравнение

решением которого будет

где — начальное отклонение оси ротора гироскопа от направления истинной вертикали, зависящее от начальных условий.

Период свободных колебаний гировертикали

Если ось ротора такой вертикали в начале полета установлена по направлению истинной вертикали, то в процессе произвольного полета (в данном случае лишь по дуге большого круга Земли) ось ротора гироскопа удерживается на направлении истинной вертикали. Гировертикаль не обладает ни скоростными, ни баллистическими погрешностями.

Если же ось ротора гировертикали вследствие каких-либо причин (трение в осях карданова подвеса, несбалансированность и др.) отклонилась от направления истинной вертикали, то после этого она совершает незатухающие гармонические колебания около направления истинной вертикали с периодом 84,4 мин.

Рассмотренная коррекция гировертикали называется интегральной коррекцией.

В результате интегрирования ускорений, измеряемых акселерометрами, соответствующие сигналы будут пропорциональны составляющим абсолютной скорости полета по направлениям осей чувствительности акселерометров. Интегрируя эти сигналы, еще раз можно получить соответствующие составляющие пути, пройденного самолетом в абсолютном пространстве. Однако при измерении пути, пройденного самолетом, не обязательно применять гировертикаль с интегральной коррекцией.

Инерциальная система, основанная на интегрировании коррекционных моментов гировертикали. Представим гировертикаль (см. рис. VIII.25), корректирующий электродвигатель которой развивает момент Пусть также действие моментов внешних сил (трение в опорах осей кардана, моменты от несбалансированности элементов гироскопа и др.) выражается моментом вредных сопротивлений

При этом движение гироскопа определяется уравнением

откуда

Интегрируя равенство (VIII. 120), имеем

где — путь, пройденный самолетом относительно абсолютного пространства. Обозначая этот путь через получим

Пренебрегая величиной момента вредных сопротивлений в предположении, что в прецизионном гироскопе он мал, и выбирая начальные условия так, чтобы окончательно имеем

где — угол отклонения оси ротора гироскопа от направления истинной вертикали в момент отсчета пройденного пути. Если в момент отсчета пройденного пути угол то

Из уравнения (VIII. 122) видно, что, интегрируя коррекционный момент, действующий на гировертикаль, получим в соответствующем масштабе путь, пройденный самолетом относительно абсолютного пространства независимо от типа корректирующего устройства и независимо от предыстории изменения погрешностей (угол Р) гировертикали, если в момент отсчета пройденного пути Вычитая из пути пройденного самолетом в абсолютном движении, переносное движение от вращения Земли, определим путь, пройденный самолетом относительно Земли.