6. ИНФОРМАТИВНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Определенная в соответствии с выражением (1.53) информация является интегральной величиной, которая может быть получена за рассматриваемый период измерения. Однако такая мера информации является неудобной при исследовании и проектировании измерительных устройств, поскольку при конечном периоде измерения средняя информация может сильно отличаться от реального текущего ее значения. С уменьшением интервала измерения среднее количество информации будет приближаться к ее текущему значению. Переходя к пределу, для малого интервала времени получим информационную способность измерительного устройства. Поскольку информационная способность, по существу, определяет информативность измерительного устройства, в дальнейшем в качестве информационной характеристики измерительного устройства примем информативность. Как показано ниже, для такого выбора имеется достаточно оснований. Для получения аналитического выражения информативности измерительного устройства перепишем выражение (1.52) с учетом равенства , в виде

Суммируя в выражении (1.54) по всем получим

Удельная информация, соответствующая одному значению относительно равна

Другому значению относительно будет соответствовать удельная информация

Очевидно, что информация на выходе измерительного устройства при переходе от значения к значению будет равна

Последнее соотношение, с учетом равенств

и

перепишем в виде

Аналогичное уравнение можно получить и для любой другой пары значений измерительного сигнала, поэтому, учитывая альтернативу или получим

Переходя к пределу, соответствующему непрерывному измерению, получим окончательное выражение для информативности измерительного устройства в виде

где — -мерный параметр распределения выходного сигнала измерительного устройства, — плотность распределения,

Разложим в выражении (1.60) первый множитель под интегралом в ряд Тэйлора по параметру Далее, сохраняя только члены не выше второго порядка, после преобразований получим

где М — операция математического ожидания,

— матрица информативности, положительно определенная для всех .

Как следует из выражения (1.62), информативность является учитывающим всю тонкость статистической структуры случайного процесса аналогом характеристики мощности сигнала измерительного устройства. Действительно, на основании известного неравенства Буняковского — Шварца для несмещенных оценок параметра одномерного распределения из выражения (1.61) получим

Отсюда следует, что информативность определяет нижнюю границу динамической точности стохастического процесса. Знак равенства достигается только при эффективной оценке. При функционировании измерительного устройства условное распределение изменяется во времени, поэтому и информативность такого устройства будет являться функцией времени. Информативность как функцию времени, с учетом выражения (1.61), получим в виде

где — нестационарная матрица информативности измерительного устройства, равная

Предыдущее изложение относилось к теории информативности измерительных устройств, характеризуемых одной случайной величиной. Эти рассуждения легко могут быть обобщены и на многомерную систему. В процессе эскизного проектирования измерительного устройства предварительную оценку информативности можно получить, используя в качестве первого приближения средние значения элементов матрицы информативности, т. е. при усреднении Можно также использовать формулу для приближенной оценки неизвестной плотности распределения с компонентами вектора, если при независимы:

где — ядро аппроксимации должно удовлетворять условиям:

в силу возможности факторизации функции распределения, зависит только от выборочных значений . В частности, для одномерного случая (рис. 1.9) ядро выбиралось как гауссово. Когда неизвестными являются параметры распределения возможно использовать их оценки, полученные по выборочным значениям.

Рис. 1.9. Выбор оценки функции распределения: — случайная величина, — плотность вероятностей

Так, для оценки функции нормального распределения можно применить формулу

где выборочное среднее значение определяется по формуле

а выборочная дисперсия после умножения на будет