§ 7. Формула Планка

С классической точки зрения вывод формулы Рэлея — Джинса является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерно-, стей, несовместимых с представлениями классической физики,

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции и , в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

Коэффициент пропорциональности h получил впоследствии название постоянной Планка.

Определенное из опыта значение равно:

В механике есть имеющая размерность «энергия X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Заметим, что размерность совпадает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями то его энергия должна быть кратной этой величине:

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана. Согласно формуле (100.9) 1-го тома вероятность того, что энергия колебания частоты имеет значение определяется выражением

(мы заменили на на ).

Зная вероятность различных значений энергии колебания, можно найти среднее значение этой энергии . В соответствии с формулой (93.5) 1-го тома

Подставив выражения (7.3) и (7.4) для получим для среднего значения энергии излучения частоты следующую формулу:

Чтобы произвести вычисления, обозначим и допустим, что х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда выражение (7.5) можно написать в виде

Под знаком логарифма в формуле (7.6) стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным

Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

Подставив это значение суммы в (7.6) и выполнив дифференцирование, получим:

Наконец, заменив х его значением получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты

Заметим, что при стремящемся к нулю, формула (7.7) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив что выполняется тем точнее, чем меньше h. Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение былобы равно

Перемножив выражения (6.1) и (7.7), получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот

Отсюда

Воспользовавшись соотношением (3.4), придем к формуле

Выражения (7.8) и (7.9) носят название формулы Планка. Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до Функция (7.9) удовлетворяет критерию Вина (4.3). При условии, что (малые частоты или большие длины волн), экспоненту можно положить приближенно равной в результате чего формула Планка ((7.8) или (7.9)) переходит в формулу Рэлея — Джинса ((6.2) или (6.3)). Это следует также из того, что при указанном условии выражение (7.7) приближенно равняется

Осуществив преобразование выражения (7.9) по формуле (2.10), получим

На рис. 7.1 сопоставлены графики функций (7.9) и (7.10), построенные для одной и той же температуры (5000 К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением значения К и со совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота сот, соответствующая максимуму , не совпадает с где длина волны, отвечающая максимуму

Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение

Введем вместо безразмерную переменную Подстановка преобразует формулу для R к виду;

Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен Подставив его значение, мы придем к закону Стефана—Больцмана:

Подстановка в эту формулу числовых значений дает для постоянной Стефаиа — Больцмана величину очень согласующуюся с экспериментальным значением (4.2).

В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (4.6). Для этого продифференцируем функцию (7.10) по К и приравняем получившееся выражение нулюз

Рис. 7.1.

Удовлетворяющие этому уравнению значения соответствуют минимумам функции . Значение при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в фигурных скобках. Обозначив получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, , откуда

Подстановка числовых значений b, с и k дает для b величину, совпадающую с экспериментальным значением (4.7).

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.