§ 27. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Потенциальная энергия такой частицы имеет вид

Выразив в формуле (27.1) k через получим

В одномерном случае Поэтому уравнение Шрёдингера (см. (21.5)) для осциллятора выглядит следующим образом:

полная энергия, осциллятора). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (27.2) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е, равных

На рис. 27.1 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Однако следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U (см. последний абзац предыдущего параграфа).

Уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т. е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется нулевой энергией.

Рис. 27.1.

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число изменяется на единицу:

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Таким образом, для гармонического осциллятора существует правило отбора, выражаемое формулой (27.4).

Из правила (27.4) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями /гto. Этот результат, получающийся естественным образом в квантовой механике, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку, чтобы вычислить испускательную способность абсолютно черного тела (см. § 7). Отметим, что Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной На. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.