Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА

§ 1. Правильные многоугольники

224. Выпуклые многоугольники.

Вычислим сумму внутренних углов произвольного выпуклого -угольника. Для этого выберем какую-либо точку О внутри данного -угольника (рис. 310) и соединим ее со всеми вершинами многоугольника. Он разобьется на треугольников, каждый из которых имеет сумму внутренних углов, равную 180°. Но сумма углов всех треугольников слагается из суммы внутренних углов многоугольника и полного угла в 360° при общей вершине О треугольников. Таким образом, сумма внутренних углов многоугольника равна

Рис. 310.

Сумма внешних углов -угольника не зависит от числа его сторон и всегда равна четырем прямым. Действительно, каждый внешний угол равен двум прямым минус смежный с ним внутренний угол (рис. 310). Отсюда сумма внешних углов внутренних углов что и требовалось доказать.

Если у двух многоугольников ABCDE и ABCDE стороны АВ и и и т. д. соответственно равны и углы между соответственными сторонами равны, то и многоугольники равны.

Действительно, совместим стороны АВ и наших многоугольников так, чтобы точки соответственно совпали и оба многоугольника оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны. Это всегда возможно: оба многоугольника считаются у нас выпуклыми, значит, каждый из них весь расположится по одну сторону от указанной прямой.

Если многоугольники будут расположены по разные стороны от общей стороны, то один из них можно отразить относительно этой прямой (перегнуть по ней чертеж). Теперь в силу равенства углов В и В стороны ВС и ВС попадут на один луч и вследствие равенства сторон совпадут точки С и С. Также совпадут точки D и D и т. д. Оба многоугольника полностью совместятся.

Если у двух многоугольников стороны пропорциональны, а углы между соответственными сторонами равны, то такие многоугольники подобны.

Действительно, преобразуем первый многоугольник подобно с коэффициентом подобия, равным . Тогда стороны его все станут равны сторонам второго многоугольника, а углы не изменятся. По признаку равенства многоугольников полученный многоугольник будет теперь равен второму данному многоугольнику, а тем самым исходные многоугольники подобны.

Еще раз обратим внимание на связь между площадями и периметрами подобных многоугольников. Общее правило, известное из п. 208, - отношение линейных размеров (в том числе и периметров) равно коэффициенту подобия, отношение площадей — квадрату этого коэффициента, — остается, конечно, справедливым всегда. Так из

получим

т. е. периметры подобных многоугольников относятся, как соответствующие стороны.

Рис. 311.

Далее, расположим многоугольники так, чтобы они были гомотетичны с центром гомотетии в одной из вершин, например А (рис. 311). Диагонали исходящие из вершины А — центра подобия, разобьют их на треугольники, подобные, как треугольники с параллельными сторонами. Площади треугольников имеют отношения, равные квадрату коэффициента подобия (или, что то же самое, квадрату отношения сторон): откуда найдем

т. е. площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их соответствующих сторон.