12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

В задачах теории игр, рассматривая операции, проводимые в условиях неопределенности, мы связывали эту неопределенность с неизвестным для нас поведением противника и исходили из того, что этот противник является «разумным и злонамеренным» и предпринимает те и именно те действия, которые для нас наименее выгодны.

Однако при исследовании операций приходится встречаться не только с таким видом неопределенности. Очень часто неопределенность, сопровождающая операцию, связана не с сознательным противодействием противника, а просто с нашей недостаточной осведомленностью об условиях, в которых будет проводиться операция. Так, например, могут быть заранее неизвестны: погода в некотором районе, покупательский спрос на определенного вида продукцию, объем перевозок, который придется выполнять железной дороге, и т. д.

Во всех такого рода случаях условия выполнения операции зависят не от сознательно противодействующего нам противника, а от объективной действительности, которую в теории решений принято называть «природой». Соответствующие ситуации часто называются «играми с природой». «Природа» в теории статистических решений рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, «поведение» которой неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента сознательного противодействия нашим планам.

Рассмотрим такого рода ситуацию. Пусть у нас (сторона А) имеется возможных стратегий: что касается обстановки, то о ней можно сделать предположений — рассмотрим их как «стратегии природы». Наш выигрыш при каждой паре стратегий задан матрицей (табл. 12.1):

Таблица 12.1

Требуется выбрать такую стратегию игрока А (чистую или смешанную), которая является предпочтительной (более выгодной) по сравнению с другими.

С первого взгляда может показаться, что поставленная задача проще игровой, так как она не содержит противодействия. Действительно, принимающему решение в игре с природой легче в том отношении, что он, скорее всего, получит в этой игре больший выигрыш, чем в игре против сознательного противника; однако ему труднее принять обоснованное решение, которое даст хороший выигрыш. Дело в том, что в игровой конфликтной ситуации предположение о диаметральной противоположности интересов противника нашим в некотором смысле как бы снимает неопределенность. Если же такого предположения сделать нельзя, неопределенность сказывается в гораздо более сильной степени.

Наиболее простым случаем выбора решения в условиях неопределенности является случай, когда какая-то из стратегий игрока превосходит другие («доминирует» над ними) как, например, показано в табл. 12.2.

Таблица 12.2

В этой таблице выигрыш при стратегии при любом состоянии природы П, не меньше, чем выигрыш при любой другой стратегии; значит, стратегия является предпочтительной («доминирует» над всеми другими), и ею рекомендуется пользоваться.

Если в даже в матрице нет доминирующей стратегии, все же следует просмотреть ее под углом зрения стратегий, заведомо невыгодных для игрока, худших, чем по крайней мере одна из остальных, или дублирующих, которые надо отбросить.

Например, в табл. 12.3 можно отбросить стратегии заведомо невыгодные по сравнению с и стратегию — по сравнению с в результате чего матрица сведется к матрице 2x5 (см. табл. 12.4).

Таблица 12.3

Таблица 12.4

Обратим внимание на следующее: в игре против разумного противника мы бы отбросили за него стратегию как невыгодную по сравнению с — по сравнению с в «игре против природы» этого делать нельзя, так как «природа» не выбирает свою стратегию (состояние) так, чтобы как можно больше нам «навредить».

В дальнейшем мы будет предполагать, что анализ матрицы и отбрасывание заведомо невыгодных и дублирующих стратегий уже произведены.

Чем же нам руководствоваться в деле принятия решения в ситуации неопределенности, если ни одна стратегия не доминирует над другими? Ясно, что мы должны исходить из матрицы выигрышей Однако иногда картина ситуации, которую дает матрица выигрышей, содержит своего рода «искажения».

Поясним, что мы имеем в виду. Предположим, что выигрыш при стратегии и состоянии природы больше, чем при стратегии и состоянии природы

Но первый выигрыш может быть больше второго не за счет того, что мы выбрали более удачную стратегию, а просто за счет того, что состояние природы П «выгоднее» для нас, чем состояние

Например, для какой-нибудь экономической операции состояние «отсутствие стихийных бедствий» вообще более благоприятно, чем состояния «наводнение», «землетрясение) и т. п. Представляется желательным ввести такие показатели, которые не просто давали бы выигрыш в каждой ситуации, а описывали бы «удачность» или «неудачность» применения данной стратегии в данной ситуации, с учетом того, насколько вообще эта ситуация благоприятна для нас.

С этой целью в теории решений вводится важное понятие «риска».

Риском игрока при пользовании стратегией в условиях называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию

Обозначим риск игрока при его стратегии в условиях Выразим риск через элементы матрицы выигрышей Очевидно, если бы игрок знал заранее состояние природы (условия) П, он выбрал бы ту стратегию, которой соответствует максимальный выигрыш в данном столбце, короче, «максимум столбца» - обозначим его, как и ранее, р. Согласно определению риска,

где

Из этого определения следует, что риск не может быть отрицательным:

При вычислении риска, соответствующего каждой стратегии в данных условиях, учитывается общая благоприятность или неблагоприятность для нас данного состояния природы: величина служит как бы мерилом благоприятности состояния.

Матрица рисков дает зачастую более наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей

Пример 1. Планируется операция в заранее неясных условиях, касающихся, например, рыночной конъюнктуры. Относительно этих условий можно сделать различные предположения:

Выгодность операции (ожидаемая прибыль) при наших стратегиях () для различных условий задана матрицей выигрышей (табл. 12.5).

Таблица 12.5

Построить матрицу рисков

Решение. Каждый элемент матрицы вычитаем из максимального в данном столбце значения (в первом столбце это в остальных Получаем матрицу рисков (табл. 12.6).

Таблица 12.6

При взгляде на эту матрицу нам становятся яснее некоторые черты данной «игры с природой». Так, в матрице с выигрышей (см. табл. 12.5) во второй строке первый и последний элементы были равны друг другу:

Однако эти выигрыши совсем неравноценны друг другу в смысле того, насколько удачно выбрана стратегия: при состоянии природы мы могли выиграть самое большее всего 4, и выбор стратегии почти совершенно хорош; а вот при состоянии мы могли, выбрав стратегию выиграть на целых 6 единиц больше, т. е. выбор стратегии очень плох. Это отражается элементами матрицы рисков:

То, что мы делали до сих пор — всего лишь различные способы группировки исходных данных; что касается критериев для принятия решений, мы их рассмотрим в следующем параграфе.