6. ПУАССОНОВСКИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЙ И НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными состояниями которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на телефонной станции, выходы строя (отказы) элементов аппаратуры, выстрелы, направленные по цели и т. д.

Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий (потоки вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т. д.).

Пусть система S с графом состояний, показанным на рис. 4.27, в момент t находится в состоянии S; и может перейти из него в состояние под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из S в Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна . Таким образом, плотность вероятности перехода в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные — безразлично), то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последействия, поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появления этих событий не зависят от «предыстории» процесса.

В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать переходы системы из состояния в состояние как происходящие под влиянием каких-то потоков событий, хотя бы в действительности эти события были единичными. Например, работающее техническое устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием потока отказов, хотя фактически оно может отказать только один раз. Действительно, если устройство отказывает в тот момент, когда приходит первое событие потока, то совершенно все равно — продолжается после этого поток отказов или же прекращается: судьба устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь дело именно с потоками событий.

Итак, рассматривается система S, в которой переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсивности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок.

Получим размеченный граф состояний (рис. 4.27); по которому, пользуясь правилом, сформулированным в § 3, можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Пример 1. Техническая система S состоит из двух узлов: I и II; каждый из них независимо от другого может отказывать (выходить из строя). Поток отказов первого узла — пуассоновский, с интенсивностью второго — также пуассоновский, с интенсивностью Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта ремонтируемого узла) для обоих узлов — пуассоновский с интенсивностью К.

Рис. 4.27

Рис. 4.28

Составить граф состояний системы и написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в начальный момент система работает исправно.

Решение. Состояния системы:

— оба узла неправды,

— первый узел ремонтируется, второй исправен,

— первый узел исправен, второй ремонтируется,

— оба узла ремонтируются.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.28.

Интенсивности потоков событий на рис. 4.28 проставлены из следующих соображений. Если система S находится в состоянии то на нее действуют два потока событий: поток неисправностей узла I с интенсивностью X,, переводящий ее в состояние и поток неисправностей узла II с интенсивностью переводящий ее в Пусть теперь система находится в состоянии (узел I ремонтируется, узел II — исправен). Из этого состояния система может, во-первых, вернуться в (это происходит под действием потока восстановлений с интенсивностью ); во-вторых, — перейти в состояние (когда ремонт узла I еще не закончен, а узел II тем временем вышел из строя); этот переход происходит под действием потока отказов узла II с интенсивностью Интенсивности потоков у остальных стрелок проставляются аналогично.

Обозначая вероятности состояний и пользуясь правилом, сформулированным в § 3, запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Начальные условия, при которых нужно решать эту систему: при

Рис. 4.29

Заметим, что, пользуясь условием

можно было бы уменьшить число уравнений на одно. Действительно, любую из вероятностей можно выразить через остальные и подставить в уравнения (6.1), а уравнение, содержащее в левой части производную чтой вероятности — отбросить.

Заметим, кроме того, что уравнения (6.1) справедливы как для постоянных интенсивностей пуассоновских потоков X, так и для переменных:

Пример 2. Группа в составе пяти самолетов в строю «колонна» (рис. 4.29) совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак — пуассоновский, с интенсивностью X (атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с вероятностью р.

Если постановщик помех поражен (сбит), то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, пока он не поражен) направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью X; каждой атакой самолет поражается с вероятностью р. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не переносятся.

Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.

Решение. Будем нумеровать состояния системы соответственно числу сохранившихся самолетов в группе:

— все самолеты целы;

— постановщик помех сбит, остальные самолеты целы;

— постановщик помех и один бомбардировщик сбиты, остальные самолеты целы;

— постановщик помех и два бомбардировщика сбиты, остальные самолеты целы;

— постановщик помех и три бомбардировщика сбиты, один самолет цел;

— все самолеты сбиты.

Состояния мы отличаем друг от друга по числу сохранившихся бомбардировщиков, а не по тому, какой именно из них сохранился, так как все бомбардировщики по условиям задачи равноценны — атакуются с одинаковой интенсивностью и поражаются с одинаковой вероятностью.

Граф состояний системы показан на рис. 4 30. Чтобы разметить этот граф, определим интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

Из состояния систему переводит поток поражающих (или «успешных») атак, т. е. тех атак, которые приводят к поражению постановщика (разумеется, если он раньше не был поражен).

Рис. 4.30

Интенсивность потока атак равна X, но не все они — поражающие: каждая из них оказывается поражающей только с вероятностью . Очевидно, интенсивность потока поражающих атак равна эта интенсивность и проставлена в качестве у первой слева стрелки на графе (рис. 4.30).

Займемся следующей стрелкой и найдем интенсивность Система находится в состоянии т. е., целы и могут быть атакованы четыре самолета. Она перейдет в состояние за время если за это время какой-нибудь из самолетов (все равно, какой) будет сбит. Найдем вероятность противоположного события — за время ни один самолет не будет сбит:

Здесь отброшены члены высшего порядка малости относительно Вычитая эту вероятность из единицы, получим вероятность перехода из за время (элемент вероятности перехода):

откуда

что и проставлено у второй слева стрелки. Заметим, что интенсивность этого потока событий просто равна сумме интенсивностей потоков поражающих атак, направленных на отдельные самолеты Рассуждая наглядно, можно получить этот вывод следующим образом: система S в состоянии состоит из четырех самолетов; на каждый из них действует поток поражающих атак с интенсивностью значит на систему в целом действует суммарный поток поражающих атак с интенсивностью

С помощью аналогичных рассуждений проставляются интенсивности потоков событий у остальных стрелок.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний имеют вид

Так как в начальный момент (при ) все самолеты целы, начальные условия будут;

Рис. 4.31

Пример 3. Условия те же, что и в примере 2, но интенсивность А, относится к общему потоку атак, направляемому на всю группу. До тех пор, пока постановщик помех цел, все эти атаки направляются на него; когда он сбит, атаки распределяются равномерно между оставшимися самолетами, так что на один самолет приходится в среднем (атак/час), где -число сохранившихся самолетов. Составить граф состояний, разметить его и записать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Решение. Размеченный граф состояний показан на рис. 4.31.

Уравнения Колмогорова!

Начальные условия же, что и в примере 2.

Отметим, что в данном параграфе мы только выписывали дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, но не занимались решением этих уравнений.

По этому поводу можно заметить следующее. Уравнения для вероятностей состояний представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными или переменными коэффициентами — в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

Система нескольких линейных дифференциальных уравнений такого типа только в редких случаях может быть проинтегрирована в квадратурах: обычно такую систему приходится решать численно — либо вручную, либо на аналоговой вычислительной машине (АВМ), либо, наконец, на ЭЦВМ. Все эти способы решения систем дифференциальных уравнений затруднений не доставляют; поэтому самое существенное — уметь записать систему уравнений и сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились здесь.