8. ПРОЦЕСС «ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ»

В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения.

Рис. 4.38

Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей — так называемой «схемой гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 4.38, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния — только с одним соседним состоянием.

Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

— все три узла исправны;

— один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

— два узла восстанавливаются, один исправен;

— все узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис. 4.39. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Рис. 4.39

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 4.40

Рис. 4.40

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния имеем:

Для второго состояния суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (8.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены получим:

и далее, совершенно аналогично,

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до .

Итак, предельные вероятности состояний в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

и нормировочному условию:

Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения (7.3) выразим

из второго, с учетом (8.5), получим:

из третьего, с учетом (8.6):

и вообще

Эта формула справедлива для любого k от 2 до .

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние в знаменателе — произведение всех интенсивностей стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния При в числителе будет стоять произведение интенсивностей стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: Подставим эти выражения в нормировочное условие: Получим:

откуда

Остальные вероятности выражаются через

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 4.41.

Рис. 4.41

Решение По формулам (8.8) и (8.9) имеем:

Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов — простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно р; закон распределения этого времени показательный (поток восстановлений — простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух — 50%, а при одном и менее — прибор вообще не работает.

Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность (см. рис. 4.42).

Так как поток отказов каждого узла — простейший, то промежуток времени между отказами в этом потоке распределен по показательному закону с параметром где - среднее время безотказной работы узла.

Рис. 4.42

По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система находится в состоянии то работают три узла; каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более интенсивен:

Если система находится в состоянии то работают два узла; общий поток отказов имеет интенсивность: Аналогично

По стрелкам влево систему переводят ремонты (восстановления). Среднее время восстановления узла равно значит, интенсивность потока восстановлений, действующего на один восстанавливаемый узел, равна на два узла — на три узла — . Эти значения и проставлены на рис. 8.5 у стрелок, ведущих влево.

Пользуясь полученным выше общим решением задачи гибели и размножения, имеем (ставя вместо ):

Зададимся конкретными значениями (час). Тогда и

Средняя производительность прибора в установившемся режиме: