5. ПОТОКИ ПАЛЬМА. ПОТОКИ ЭРЛАНГА

Поток событий называется потоком Пальма (или потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями:

представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные величины (рис. 4.21).

Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими.

Рассмотрим пример потока Пальма. Некоторый элемент технического устройства (например, радиолампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя), после чего он мгновенно заменяется новым. Срок работы элемента случаен. Если отдельные экземпляры элементов выходят из строя независимо друг от друга, то поток отказов (или «поток восстановлений», так как отказ и восстановление происходят в один и тот же момент) представляет собой поток Пальма.

Если к тому же срок работы элемента распределен по показательному закону, поток Пальма превращается в простейший (стационарный пуассоновский) поток.

Другой пример: группа самолетов идет в боевом порядке «колонна» (рис. 4.22) с одинаковой для всех самолетов скоростью V. Каждый из них, кроме ведущего, обязан выдерживать строй, т. е. держаться на заданном расстоянии от впереди идущего.

Рис. 4.21

Это расстояние, измеряемое дальномером, выдерживается с ошибками. Моменты пересечения самолетами заданного рубежа при этих условиях образуют поток Пальма, так как случайные величины независимы. Заметим, что тот же поток не будет потоком Пальма, если самолеты стремятся выдержать заданное расстояние не от соседа, а от ведущего всю колонну.

Рис. 4.22

Многие потоки событий, встречающиеся на практике, хотя и не являются в точности потоками Пальма, но могут быть ими приближенно заменены.

Важными для практики образцами потоков Пальма являются так называемые потоки Эрланга. Эти потоки образуются в результате «просеивания» простейших потоков.

Рассмотрим на оси простейший поток событий (рис. 4.23) и сохраним в нем не все точки, а только каждую вторую; остальные выбросим (на рис. 4.23 сохраненные точки показаны жирными). В результате такой операции «прореживания» или «просеивания» образуется снова поток событий; он называется потоком Эрланга второго порядка.

Рис. 4.23

Вообще, потоком Эрланга ко порядка называется поток, получающийся, если в простейшем потоке сохранить каждую точку, а остальные выбросить.

Например, на рис. 4.24 показано образование потока Эрланга порядка (три точки простейшего потока выбрасываются, а четвертая сохраняется).

Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга порядка Э

Итервал времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга порядка представляет собой сумму k независимых случайных величин — расстояний между событиями в исходном простейшем потоке:

Рис. 4.24

Каждая из этих случайных величин распределена по показательному закону:

Закон распределения интервала Т между соседними событиями в потоке называется законом Эрланга порядка.

Найдем выражение для плотности распределения этого закона; обозначим ее Для этого рассмотрим на оси (рис. 4.25) простейший поток с интенсивностью X, в котором события разделены интервалами и найдем элемент вероятности - вероятность того, что интервал окажется в пределах элементарного участка

Для этого, во-первых, на участок длиной t должно попасть ровно точек простейшего потока; вероятность этого события, согласно формуле (4.1), равна

Кроме того, последняя точка должна попасть на элементарный участок — вероятность этого равна (см. формулу (4.7)). Перемножая эти вероятности, получим:

откуда

Очевидно, при получается обычное показательное распределение:

Найдем характеристики закона Эрланга k-гo порядка: его математическое ожидание и дисперсию Случайная величина Т, распределенная по закону Эрланга порядка, получается сложением независимых случайных величин:

где каждая из величин Г распределена по показательному закону (5.2) с математическим ожиданием и дисперсией (см. формулы (4.4) и (4.5)).

Рис. 4.25

Применяя теоремы сложения математических ожиданий и дисперсий, имеем

Извлекая из последнего выражения квадратный корень, найдем среднее квадратическое отклонение:

Таким образом, мы нашли математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение интервала между соседними событиями в потоке Эрланга порядка:

Заметим, что как закон распределения так и все его характеристики выражены не через интенсивность самого потока Эрланга а через интенсивность А порождающего его простейшего потока, который подвергался прореживанию. Представляет интерес выразить их через интенсивность (среднее число событий в единицу времени) самого потока Эрланга . Обозначим — интенсивность потока Очевидно

гак как из исходного простейшего потока с интенсивностью берется только часть.

Подставляя выражение А через в формуле (5.1), получим

или

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этого закона будут:

Теперь предположим, что, сохраняя неизменной интенсивность потока :

мы будем менять только порядок k закона Эрланга. Его математическое ожидание останется постоянным:

а дисперсия и среднее квадратическое отклонение будут меняться:

Из формул (5.8) видно, что при и дисперсия, и среднее квадратическое отклонение стремятся к нулю. А что это значит? Это значит, что при поток Эрланга заданной интенсивности А неограниченно приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями:

Это свойство потоков Эрланга удобно в практических применениях: оно дает возможность, задаваясь различными k, получать потоки, обладающие различным последействием — от полного отсутствия последействия (k — 1) до жесткой функциональной связи между моментами появления событий . Таким образом, порядок потока Эрланга k может служить в какой-то степени «мерой последействия».

В целях упрощения часто бывает удобно приближенно заменить реальный поток событий — потоком Эрланга с тем же последействием. Это делают, согласовывая характеристики реального потока — математическое ожидание и дисперсию интервала между событиями — с теми же характеристиками заменяющего потока Эрланга.

Пример. В результате статистической обработки интервалов времени между событиями в некотором потоке получены следующие характеристики:

— среднее значение интервала мин,

— среднее квадратическое отклонение интервала мин.

Требуется подобрать поток Эрланга, обладающий приблизительно теми же характеристиками, найти его интенсивность и порядок k.

Решение. Интенсивность есть величина, обратная среднему интервалу между событиями:

Из формулы (5.8) находим порядок потока Эрланга k:

Рис. 4.26

Выбирая в качестве k ближайшее целое число, получаем

Итак, данный поток можно приближенно заменить потоком Эрланга 5-го порядка с плотностью вида:

или

Вид кривой распределения (5.9) показан на рис. 4.26

Особое внимание, уделяемое здесь потокам Эрланга по сравнению с другими потоками Пальма (с произвольным законом распределения интервала времени между соседними событиями) объясняется тем, что при помощи этих потоков можно сводить немарковские процессы к марковским. Как это делается, мы увидим дальше, в § 10, 11 настоящей главы, а также в § 6 гл. 5.

Потоки Эрланга весьма удобны для приближенного представления потоков Пальма любого вида, так как потоки Эрланга различных порядков образуют целую гамму, дающую постепенный переход от простейшего потока (полное отсутствие последействия) к потоку с регулярными интервалами (полное, жесткое последействие). Возможности приближенного представления любых потоков Пальма потоками типа Эрланга еще более расширяются, если воспользоваться «обобщенными законами Эрланга», которые получаются при сложении нескольких случайных величин, распределенных по показательным законам с разными параметрами (см., например, [8]), а также «смешанными обобщенными законами Эрланга», которые получаются, если сложить несколько обобщенных законов Эрланга с коэффициентами («весами»), образующими в сумме единицу.