13. НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ МЕТОДА ДИНАМИКИ СРЕДНИХ

До сих пор, рассматривая уравнения динамики средних, мы всюду пользовались принципом квазирегулярности. Напомним, в чем состоит этот принцип. Если интенсивности потоков событий, переводящих элементы системы из одного состояния в другое, определенным образом зависели от численностей состояний, мы заменяли в выражениях этих зависимостей сами численности (случайные) их средними значениями — математическими ожиданиями.

То же самое, хотя и в несколько усложненном виде, мы делали в уравнениях смешанного типа, заменяя аргументы, от которых зависели интенсивности, условными математическими ожиданиями. При этом точность и приемлемость самого принципа квазирегулярности нами не обсуждалась.

В действительности сам принцип представляет собой некоторое допущение, и при пользовании им мы неизбежно допускаем какие-то ошибки. Мы уже упоминали о том, что эти ошибки сравнительно малы для случаев, когда число элементов в системе велико, а также не малы средние численности тех состояний, от которых зависят интенсивности. В данном параграфе мы коснемся вопроса об ошибках метода динамики средних, связанных с принципом квазирегулярности и внесем в уравнения динамики средних некоторые уточнения, которые позволят, в первом приближении, оценить порядок этих ошибок.

Рис. 6.42

Для простоты мы рассмотрим случай, когда элемент имеет всего два состояния: и и от численности состояния зависит только одна интенсивность а интенсивность постоянна: . Граф состояний элемента дан на рис. 6.42.

Для дальнейшего нам удобно будет ввести особое обозначение для суммарной интенсивности потоков событий, переводящих элементы системы из состояния а интенсивность 12 потока, действующего на один элемент, выразить через эту суммарную интенсивность:

Оказывается, для средних численностей состояний можно вывести, не пользуясь принципом квазирегулярности, совершенно точные дифференциальные уравнения, выражающие производные через математическое ожидание случайной величины . А именно:

уравнение для не выписываем, так как в данном случае

Покажем, как выводится уравнение (13.2). Для этого рассмотрим граф состояний уже не одного отдельного элемента, а системы в целом (рис. 6.43). Состояния системы будем нумеровать соответственно числу элементов, находящихся в состоянии

При большом числе элементов N число состояний чрезвычайно велико, и составление и решение системы дифференциальных уравнений для вероятностей состояний системы затруднительно; именно поэтому и обращаемся мы к методу динамики средних.

Все же мы запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы S (поскольку мы не собираемся их решать, — количество уравнений нам безразлично). Система уравнений имеет вид:

где — вероятность того, что в момент t система будет в состоянии

Рис. 6.43

Заметим, что первое и последнее уравнения (13.3) можно свести к общему виду, в котором записано если естественным образом положить

Мы знаем, что математическое ожидание дискретной случайной величины возможные значения которой — целые числа от 0 до N, выражается формулой:

Поэтому производную от этого математического ожидания мы получим, умножив уравнение системы (13.3) на и просуммировав от 0 до N:

(13.6)

Первые две суммы в этом выражении оставим как они есть, а третью и четвертую преобразуем. Рассмотрим третью сумму. Учитывая, что в этой сумме член, соответствующий k = 0, обращается в нуль, имеем:

Далее изменим индекс суммирования, положив

Последнее равенство справедливо, так как при множитель () обращается в нуль. Наконец, возвращаясь к обозначению k для индекса суммирования (напомним, что сумма не зависит от того, какой буквой обозначить этот индекс), получим выражение для третьей суммы:

Аналогично преобразуем четвертую сумму; учитывая, что имеем:

(13.10)

Подставим выражения (13.9) и (13.10) в формулу (13.6):

(13.11)

Здесь первая сумма — не что иное, как а вторая — это Таким образом, мы вывели совершенно точное дифференциальное уравнение (13.2) для средней численности состояния

Однако, это уравнение в своем точном виде для нас совершенно бесполезно. Дело в том, что в его правую часть входят не только неизвестные функции m, и но также и математическое ожидание

Но для того, чтобы знать это математическое ожидание, нам нужно знать большое число (N) вероятностей . Их, конечно, можно в принципе найти, решая систему (13.3); но мы как раз для того и применяем метод динамики средних, чтобы избежать решения большого числа уравнений для вероятностей состояний системы.

Возникает вопрос о том, как найти приближенно математическое ожидание не зная вероятностей состояний системы

Один из способов, позволяющих найти приближенное значение — это принцип квазирегулярности, которым мы до сих пор пользовались. Он состоит по существу в том, что мы приближенно заменяем математическое ожидание нкции от случайной величины той же функцией от математического ожидания, т. е. полагаем:

(13.12)

Рис. 6.44

После этого точное уравнение (13.2) превращается в приближенное уравнение

или, если пользоваться интенсивностью в пересчете на один элемент:

Таким образом, ошибки при применении принципа квазирегулярности — те же, что ошибки от замены математического ожидания функции той же функцией от математического ожидания.

Относительно ошибки, возникающей при такой замене, можно высказать следующие общие соображения. Эта ошибка мала, если функция почти линейна в диапазоне практически возможных значений случайной величины Если в этом диапазоне функция сильно отличается от линейной, ошибка может быть значительной. Если функция выпукла вверх, как это типично для задач динамики средних (рис. 6.44), то ошибка от применения формулы (13.12) будет всегда в большую сторону, т. е.

Для функции выпуклой вниз, ошибка, наоборот, будет в меньшую сторону. Однако эти соображения не дают возможности оценить величину ошибки.

Для того, чтобы хотя бы грубо оценить ошибку в приближенной формуле (13.12), можно применить следующий прием.

Мы знаем, что если интенсивности потоков событий, переводящих элементы из состояния в состояние, не зависят от самих численностей состояний (т. е. элементы переходят из состояния в состояние независимо Друг от друга), то численности состояний будут распределены по биномиальному закону (см. § 1). В частности, численность состояния будет распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением а, где N — общее число элементов в системе. Мы знаем также (см. § 2), что если интенсивности потоков событий зависят от численностей состояний, то это, вообще говоря, не так. Однако для грубо приближенного учета случайности аргумента X, в функции допустим, что и в этом случае закон распределения численности состояния будет биномиальный, с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением Это, конечно, будет неточно, новее же гораздо точнее, чем просто полагать численность не случайной и равной своему математическому ожиданию (что мы фактически делаем, пользуясь принципом квазирегулярности).

Запишем это распределение вероятностей. Вероятность того, что численность состояния будет равна k, выражается известной формулой:

Таким образом (если считать, что имеет биноминальное распределение) выразится формулой:

При большом числе элементов вычисления по формуле (13.14) очень громоздки; чтобы избежать этого, можно воспользоваться предельными свойствами биноминального распределения при большом числе опытов. Известно, что биномиальное распределение при большом числе опытов N в некоторых условиях приближается к нормальному, а в других — к распределению Пуассона (см. например Первый случай будет иметь место тогда, когда вероятность события в каждом опыте не слишком мала и не слишком велика; об этом можно судить по тому, что весь интервал укладывается на участке , т. е.

(13.15)

Если оба эти условия выполнены, то среднее значение интенсивности можно вычислить, приближенно заменяя дискретную случайную величину непрерывной, распределенной по нормальному закону, а сумму (13.14) — интегралом:

(13.16)

где

(13.17)

Условие (13.15) при большом ЛГ может не выполняться в двух случаях.

1. Когда среднее число элементов в состоянии слишком мало по сравнению с ЛГ; тогда

(13.18)

г. е. дисперсия величины приближенно равна ее математическому ожиданию, а это — признак того, что биномиальное распределение близко к пуассоновскому.

2. Когда среднее число элементов в состоянии напротив, близко к и, значит, по пуассоновскому закону распределяется не а его дополнение до N, т. е. случайная величина

Покажем, как вычислить приближенно значение в том и другом случае.

1. Случайная величина распределена по закону Пуассона с математическим ожиданием Математическое ожидание ее функции равно

(13.19)

где

Для расчетов по формуле (13.19) могут быть применены таблицы пуассоновского распределения (выдержки из таких таблиц даны, например, в приложении, табл. 2).

2. Случайная величина распределена по закону Пуассона с математическим ожиданием Математическое ожидание функции будет выражаться формулой

(13.20)

где

— вероятности распределения Пуассона, также определяемые по таблицам.

Предположим, что мы приближенно выразили таким образом в виде некоторой функции эта функция будет задаваться тремя разными формулами (13.16), (13.19) и (13.20) в зависимости от того, на какой части отрезка (0, N) находится . Конечно, можно было бы подставить соответствующее выражение в уравнение (13.2) для средней численности (в данном случае достаточно решить одно это уравнение):

(13.21)

но оно окажется слишком сложным. Поэтому задачу имеет смысл приближенно решать в два приема.

Рис. 6.45

Рис. 6.46

Сначала (в первом приближении) решить уравнения динамики средних, полученные с помощью обычного принципа квазирегулярности. Затем, оценив в первом грубом приближении среднюю численность состояния — величину — найти приближенное значение для

(непременно для ряда значений величины t), пользуясь при этом той или другой из формул (13.16), (13.19), (13.20). Между полученными таким образом значениями можно проинтерполировать промежуточные. Таким образом строится функция времени которая подставляется в правую часть уравнения

(13.22)

Получается линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, решение которого затруднений не вызывает. В результате этого будет получена функция более точная, чем первое приближение. Сравнивая второе приближение с первым, можно приближенно оценить ошибки, возникающие от применения принципа квазирегулярности.

Совершенно аналогично можно решить задачу уточнения уравнений и тогда, когда число состояний элемента больше двух и когда от численностей состояний зависит не одна интенсивность, а две или более. Вся разница в том, что придется оценивать математическое ожидание не одной функции, а нескольких.

Изложенный выше способ введения поправок к уравнениям динамики средних сравнительно трудоемок; однако для функций суммарной интенсивности некоторых специальных видов, часто встречающихся в уравнениях динамики средних, поправки могут быть учтены достаточно просто.

Пусть, например, в условиях простейшей задачи с графом состояний элемента (см. рис. 6.42) суммарная интенсивность равна константе 0 при всех значениях (а при естественно, ) . Тогда, если велико, то очень большой точностью. Для того, чтобы приближенно найти это математическое ожидание при небольших значениях примем для величины пуассоновское распределение с параметром Тогда получим:

(13.23)

Обозначим функцию через через

Приближенное уравнение для средней численности запишется тогда так:

(13.24)

Заметим, что менее точное уравнение, получаемое по принципу квазирегулярности, здесь имело бы вид:

где функции, введенные в § 4.

Изобразим, для сравнения, графики функций (рис. 6.45) и функций (рис. 6.46).

Как видно из графиков, ошибка при замене правой части в уравнениях (13.24) соответствующей правой частью в уравнениях (13.25) довольно существенна при небольших значениях тогда как при больших она становится пренебрежимо малой.

Таким образом, во всех задачах, где мы использовали функции в качестве поправочных коэффициентов в правых частях уравнений динамики средних, более точные результаты будут получаться, если мы заменим R на на .