2. Одноканальная СМО с ожиданием

Пусть имеется одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью (); на вход ее поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; закон распределения времени обслуживания — произвольный, с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением

Величина

называется коэффициентом вариации времени обслуживания (этот коэффициент показывает, насколько велик разброс времени обслуживания относительно его среднего значения).

Доказано (см. напр., ), что для одноканальной СМО с простейшим потоком заявок и произвольно распределенным временем обслуживания среднее число заявок, находящихся в очереди, выражается формулой:

где — коэффициент вариации времени обслуживания. Что касается среднего времени ожидания в очереди, то оно выражается формулой:

Формулы (11.3), (11.4) обычно называются формулами Полячека-Хинчина [20]. Заметим, что для показательного распределения

коэффициент вариации

В этом случае формулы (11.3) и (11.4) превращаются в ранее выведенные нами формулы (5.17) и (5.20) (см. § 5):

Рассмотрим крайний случай, когда время обслуживания вообще не случайно и равно своему математическому ожиданию:

Тогда и формулы (11.3), (11.4) дают, и

и

т. е. как среднее число заявок в очереди, так и среднее время ожидания при строго постоянном времени обслуживания вдвое меньше, чем при случайном времени обслуживания, распределенном по показательному закону.

Пример 1. Поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию для обработки, - простейший поток с интенсивностью (состава в час). Среднее время, затрачиваемое на обработку одного состава, равно (мин); его среднее квадратическое отклонение (мин). Определить среднее число составов, ожидающих обработки и среднее время ожидания обработки в очереди, а также среднее число составов, связанных с обслуживанием на сортировочной станции.

Решение. Переходя к одной и той же единице измерения времени (час) имеем:

Коэффициент загрузки станции (приведенная интенсивность потока заявок):

Коэффициент вариации времени обслуживания;

По формулам (11.3) и (11.4) находим среднее число составов, ожидающих обработки

и среднее время ожидания обработки:

Среднее число составов, связанных с сортировочной станцией, равно среднему числу составов в очереди плюс среднее число составов под обслуживанием; последнее же равно вероятности занятости СМО, т. е. отношению среднего числа составов, поступающих в единицу времени к среднему числу составов, обслуживаемых каналом в единицу времени Отсюда среднее число составов (заявок) в системе равно:

Приведенные аналитические формулы относятся, как уже было сказано, к самым простейшим непуассоновским СМО. В случае более сложных СМО (многоканальных, с особенностями обслуживания и т.д.), простых аналитических формул получить не удается. В некоторых случаях исследование СМО с непуассоновскими потоками событий может быть произведено с помощью метода псевдосостояний, описанного в § 10 гл. 4.

В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО с очередью (без ограничений). На вход системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; время обслуживания распределено по закону Эрланга порядка с математическим ожиданием т. е. представляет собой сумму двух независимых случайных величин с одинаковым показательным распределением. Обозначим параметры этих показательных распределений и найдем значение По теореме сложения математических ожиданий имеем:

откуда

Таким образом, время обслуживания распределенное по закону Эрланга порядка с математическим ожиданием может быть представлено, как сумма двух независимых случайных величин имеющих каждая показательное распределение с параметром Эти два времени и можно представить как две последовательные «фазы» процесса обслуживания.

Рассмотрим различные состояния СМО, нумеруя их по числу заявок в системе и фазе обслуживания:

— заявок в системе нет (обслуживания не происходит);

— одна заявка находится в СМО, обслуживание в первой фазе, очереди нет;

— одна заявка находится в СМО, обслуживание во второй фазе, очереди нет;

— две заявки находятся в СМО, первая обслуживается (первая фаза), вторая стоит в очереди;

- две заявки находятся в СМО; первая обслуживается (вторая фаза), вторая стоит в очереди;

— k заявок находятся в СМО, одна под обслуживанием (первая фаза), остальные — в очереди;

- заявок находятся в СМО, одна под обслуживанием (вторая фаза), остальные — в очереди;

Размеченный граф состояний системы приведен на рис. 5.19. Действительно, из состояния систему переводит поток заявок с интенсивностью к. Из состояния систему переводит поток с интенсивностью (поток окончаний первой фазы обслуживания). Из состояния — такой же поток. Из состояния систему переводит поток заявок и т. д.

Рис. 5.19

Пользуясь размеченным графом состояний, запишем линейные алгебраические уравнения для вероятностей состояний:

или вводя обозначение

Это — система бесконечного числа уравнений с бесконечным числом неизвестных . Существуют способы, позволяющие решать также системы буквенно, но они сравнительно сложны, и мы не будем на них останавливаться. Ограничимся указанием на то, как может быть решена система (11.8) при конкретных значениях параметров

Прежде всего оценивается максимальное практически возможное число заявок в очереди — это можно сделать грубо, приняв закон распределения времени обслуживания показательным. Когда это сделано, удается отбросить некоторые (последние, начиная с какого-то номера) из уравнений, после чего система (11.8) превращается в систему конечного числа уравнений с конечным числом неизвестных, которая решается обычными методами вычислительной алгебры (см., например [21]). При большом числе уравнений удобно бывает пользоваться методом итераций (последовательных приближений), причем в качестве первого приближения можно взять значения вероятностей состояний, получаемые при показательном распределении времени обслуживания, разделив вероятности поровну между двумя фазами обслуживания.

Применяя метод псевдосостояний, можно, в принципе, приближенно свести любой немарковский процесс массового обслуживания к марковскому; однако, при большом числе псевдосостояний решение системы линейных уравнений не только в буквенном, но и в численном виде становится затруднительным. В таких случаях для исследования процесса, протекающего в СМО, можно воспользоваться универсальным методом моделирования случайных процессов — так называемым методом статистических испытаний (Монте-Карло), который будет рассмотрен в гл. 8.