2. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПОТОКОВ СОБЫТИЙ ОТ ЧИСЛЕННОСТЕЙ СОСТОЯНИИ. ПРИНЦИП КВАЗИРЕГУЛЯРНОСТИ

До сих пор, применяя метод динамики средних, мы считали, что интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, нам заранее известны и не случайны. Тем самым предполагалось, что они не зависят от численностей состояний, которые, как известно, случайны. Однако, на практике очень часто эта бывает не так. Процессы, протекающие в системе элементов, чаще всего складываются так, что интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависят от того, сколько элементов в данном состоянии (да и в других состояниях) имеется в системе.

Например, в примере 2 предыдущего параграфа мы предполагали, что среднее время ремонта элемента (величина, обратно пропорциональная интенсивности потока ремонтов) не зависит от того, сколько элементов одновременно находится в ремонте.

Это действительно так, если элементы настолько редко выходят из строя, что практически не может создаться «затора» при их восстановлении. Если же это не так, необходимо учитывать тот факт, что время, потребное на ремонт элемента, зависит от количества неисправных элементов, имеющихся в наличии.

Действительно, рассмотрим систему S, состоящую из N однородных элементов — приборов, которые могут в случайные моменты выходить из строя и направляться в ремонт. Предположим, что ремонт осуществляется одной бригадой, имеющей вполне определенную пропускную способность (среднее количество ремонтов в единицу времени). Тогда время, которое каждый отдельный неисправный элемент пробудет в ремонте, зависит от общего числа ремонтируемых в данный момент элементов: чем это количество больше, тем больше, в среднем, пробудет в ремонте каждый отдельный элемент, и тем, следовательно, меньше будет интенсивность потока событий, переводящего каждый отдельный элемент из состояния «неисправен» в состояние «исправен». Таким образом, интенсивность потока событий, переводящего элемент из второго состояния в первое, зависит от численности первого состояния. Эта численность случайна — значит и интенсивность переводящего потока, строго говоря, будет случайной.

Другой пример. Пусть система S состоит из большого числа N автомашин, каждая из которых может быть в состоянии «исправна» или «неисправна». Парк автомашин выполняет вполне определенный круг работ, так что при большом количестве неисправных машин нагрузка, ложащаяся на исправные, увеличивается, и, значит, увеличивается интенсивность потоков событий, переводящих их в состояние «неисправна». Снова интенсивность потока событий зависит от численности состояния.

В общем случае (ниже мы увидим ряд таких примеров) интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, могут зависеть от численности не одного состояния, а сразу нескольких. В случае, когда интенсивности потоков событий зависят от численностей состояний (значит, случайны), мы уже не можем, как это было раньше, писать уравнения динамики средних, так как не знаем численностей состояний, определяющих интенсивности. Однако эту трудность можно обойти, если предположить, что интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависят не от самих численностей состояний, а от их средних значений (математических ожиданий)

Это допущение, которое мы, следуя И. Я. Динеру [13], будем называть «принципом квазирегулярности», позволит написать уравнения динамики средних и решить задачу (правда, не точно, а приближенно, потому что само это допущение — не точное, а приближенное).

Заметим, что допущение, о котором идет речь, приводит к существенным ошибкам только когда общее число элементов N в системе S сравнительно мало — тогда фактические численности состояний могут сильно отличаться от своих математических ожиданий.

Если же общее число элементов N велико, отклонение численности каждого состояния от среднего значения относительно мало, и метод динамики средних дает сравнительно малые погрешности.

Существенен также вид зависимости, связывающий интенсивности потоков событий с численностями состояний. Чем ближе эта зависимость к линейной (в области практически возможных значений аргументов), тем меньшую погрешность дает замена случайных численностей их средними значениями.

Поясним методику пользования принципом квазирегулярности на примерах.

Пример 1. Система 5 состоит из большого числа N однородных технических устройств, каждое из которых может быть в одном из двух состояний:

— исправно, работает,

— неисправно, ремонтируется.

Рис. 6.6

На каждый элемент действует поток неисправностей с интенсивностью к, не зависящей от численностей состояний. Ремонтом элементов занята группа рабочих в составе k человек (k N). Каждый неисправный элемент ремонтируется одним рабочим (взаимопомощи между ними нет); каждый рабочий может ремонтировать в среднем элементов в единицу времени. В начальный момент все элементы исправны. Все потоки событий — пуассоновские (может быть, с переменной интенсивностью). Написать уравнения динамики средних для средних численностей состояний.

Решение. Граф состояний элемента (одного технического устройства) имеет вид, представленный на рис. 6.6, где — интенсивность потока ремонтов, приходящаяся на один ремонтируемый элемент.

Найдем зависимость от числа элементов, находящихся в данный момент в состоянии ремонта. Начнем с того, что определим, при данном суммарную интенсивность потока ремонтов, приходящегося на все элементы, которые находятся в состоянии Эта суммарная интенсивность есть функция числа элементов, находящихся в состоянии ремонта:

Так как рабочие работают без взаимопомощи и число их равно k, то суммарная интенсивность потока ремонтов с возрастанием числа ремонтируемых элементов растет по линейному закону (пропорционально числу ремонтируемых элементов) до тех пор, пока их число не достигнет после этого все рабочие будут заняты, интенсивность М? перестанет расти и останется равной

Построим график функции (см. рис. 6.7). Она задана только в целочисленных точках; но при составлении уравнений динамики средних с использованием принципа квазирегулярности нам придется заменять случайное число элементов в состоянии ремонта его математическим ожиданием а оно может быть и не целым. Поэтому нам нужно определить функцию и для нецелых значений аргумента. Для этого воспользуемся линейной интерполяцией и соединим точки на графике рис. 6.7 отрезками прямых.

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Подсчитаем теперь, какова будет средняя интенсивность потока ремонтов, приходящаяся на один ремонтируемый элемент:

Деля (2.1) на получим:

График функции представлен на рис. 6.8. Эта кривая, как и состоит из двух участков. На первом (от 0 до k) она параллельна оси абсцисс, на втором — убывает по гиперболическому закону.

Теперь нам известна интенсивность потока событий переводящего один элемент из состояния в Она зависит от фактического (случайного) числа элементов, находящихся в состоянии Согласно принципу квазирегулярности, заменим это случайное число его математическим ожиданием Тогда, на основе графа состояний (рис. 6.6), дифференциальные уравнения динамики средних запишутся в виде:

(2.3)

где — средние численности состояний

Уравнения (2.3), (2.4) можно переписать в другом виде, если вспомнить, что

Получим два уравнения:

Из этих двух уравнений мы можем выбрать одно — например, второе, первое отбросить и во второе подставить выражение из условия:

Получим вместо (2.5) одно дифференциальное уравнение:

Это — уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя правую часть от 0 до t, а левую — от 0 до (начальное значение равно нулю), имеем:

Учитывая, что функция задана двумя разными выражениями при и при имеем: при

откуда

При

Первый интеграл равен:

Вычисляем второй интеграл:

Следовательно, при

откуда

Формулой (2.7) величина будет выражаться при

а формулой (2.8) — при больших значениях

Пример 2. Условия те же, что и в примере 1, с той разницей, что k рабочих, ремонтирующих вышедшие из строя элементы, помогают друг другу, так что k рабочих осуществляют ремонт одного элемента в среднем в k раз скорей, чем один рабочий.

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Требуется построить для этих условий функцию (суммарную интенсивность потока ремонтов), функцию (интенсивность потока ремонтов, приходящуюся на один ремонтируемый элемент) и составить дифференциальные уравнения для средних численностей состояний (уравнения динамики средних).

Решение. График зависимости от числа ремонтируемых элементов представлен на рис. 6.9. Действительно, при любом целом положительном числе элементов, находящихся в состоянии все рабочие, работая одновременно над ремонтом этих элементов, порождают один поток ремонтов с интенсивностью они как бы эквивалентны одному «сверхрабочему» с производительностью, в k раз большей (см. § 9 гл. 5). Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, достаточно в условиях примера 1 положить а вместо — подставить

Рис. 6.11

В реальных условиях зависимость суммарной интенсивности потока ремонтов от числа ремонтируемых элементов может быть и не такой простой, как в рассмотренных двух примерах — она может зависеть от особенностей организации ремонтов в бригаде, от очередности обслуживания элементов. от емкости ремонтных мастерских, и т. д. Может оказаться, что для установления вида функции придется делать специальное исследование, например, рассматривая ремонтную бригаду как систему массового обслуживания и строя для нее математическую модель.

Пример 3. Рассматривается система, состоящая из одинаковых приборов; каждый прибор состоит из двух одинаковых узлов: один основной, второй резервный. В случае выхода из строя основного узла в работу включается резервный. При выходе из строя обоих узлов выходит из строя и перестает работать весь прибор. Поток неисправностей, действующий на работающий узел, имеет интенсивность на неработающий (исправный) — 2. Вышедшие из строя узлы ремонтируются бригадой рабочих. Суммарная интенсивность потока ремонтов бригады, в зависимости от общего числа ремонтируемых узлов у, задана функцией

Вид функции представлен на рис. 6.10.

Отдельный прибор (элемент) может находиться в следующих состояниях:

— исправны оба узла, первый работает, второй в резерве,

— первый узел неисправен, ремонтируется, второй узел работа прибор работает,

— оба узла неисправны, ремонтируются; прибор не работает.

Вышедшие из строя узлы ремонтируются независимо от того, является ли узел основным или запасным (ремонты распределяются по узлам равномерно). После исправления вышедшего из строя узла он становится резервным, если другой не вышел из строя, и основным — если вышел.

Написать уравнения динамики средних.

Решение. Граф состояний элемента (прибора) имеет вид, показанный на рис. 6.11.

Определим интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние. Прежде всего,

Действительно, пока прибор работает нормально, на оба узла действуют потоки неисправностей: на работающий — с интенсивностью на неработающий с интенсивностью На прибор в целом действует поток с суммарной интенсивностью

Далее, из состояния прибор переходит под действием потока неисправностей, приходящегося на единственный работающий узел:

Обратно, из состояния прибор переводит поток ремонтов, приходящийся на один ремонтируемый узел. Общее число узлов, находящихся в ремонте, равно

Действительно, на каждый прибор, находящийся в состоянии при ходится один неисправный узел; на каждый прибор в состоянии — два неисправных узла.

Суммарная интенсивность потока ремонтов будет:

Эта интенсивность делится поровну между всеми ремонтируемыми узлами, так что на один узел приходится интенсивность потока ремонтов, равная

Следовательно, истинная интенсивность потока ремонтов, приходящаяся на один элемент в состоянии равна:

Аналогично определим 32. В состоянии прибор имеет два неисправных узла; на каждый из них приходится поток ремонтов с интенсивностью

а на оба — поток с интенсивностью, вдвое большей:

Согласно принципу квазирегулярности, заменяем случайные аргументы их математическими ожиданиями получим:

Таким образом, можно проставить на графе состояний все интенсивности и, согласно общему правилу, записать уравнения динамики средних. Из трех уравнений (для ) пишем первое и последнее — второе отбрасываем:

Из условия

выражаем через

и подставляем в первое и второе уравнения (2.9):

Полученную систему двух нелинейных дифференциальных уравнений с неизвестными функциями можно решать на машине или вручную (численно).

Таким образом, пользуясь принципом квазирегулярности, можно написать уравнения динамики средних, в которых неизвестными функциями являются средние численности состояний; эти уравнения приближенно описывают изменение средних численностей состояний даже в случае, когда интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависят от численностей состояний и, значит, являются случайными. Погрешность, с которой уравнения динамики средних описывают процесс, тем меньше, чем более многочисленна группа элементов и чем ближе калине -ным функции, выражающие интенсивности потоков событий в зависимости от численностей состояний.

Возникает вопрос: а нельзя ли, пользуясь тем же методом, что в § 1, приближенно определить не только математические ожидания, но и дисперсии средних численностей состояний? Мы видели, что в случае, когда отдельные элементы переходили из состояния в состояние независимо друг от друга (т. е. интенсивности потоков событий, переводящих элементы из состояния в состояние вовсе не зависели от численностей состояний), дисперсии численностей состояний находились просто по формуле:

Исследования показывают, что в случае, когда интенсивности потоков событий зависят от численностей состояний, этой формулой, вообще говоря, нельзя пользоваться. Она оказывается пригодной только в случаях, когда зависимость интенсивностей потоков событий от численностей очень слабая (почти пренебрежимая), да и то на сравнительно малых участках времени, пока не накопилась погрешность. Если же зависимость интенсивностей от численностей существенна, формула (2.11) дает ошибку. Если функции, выражающие суммарные интенсивности потоков (как например, функция в примере 1) выпуклы вверх, то формула (2.11) дает заниженное значение для дисперсии: дисперсия, вычисляемая по этой формуле, может быть, скажем, вдвое меньше истинной (а иногда — и более, чем вдвое).

Приближенно найти дисперсии численностей состояний можно, выписывая и решая специальные дифференциальные уравнения уже не для математических ожиданий, а для дисперсий и корреляционных моментов характеризующих связь между численностями состояний Эти уравнения в каком-то смысле аналогичны уравнениям динамики средних, составляемым на базе принципа квазирегулярности, но гораздо сложнее их и не обладают той же наглядностью. Число уравнений и число неизвестных в этих уравнениях равно числу дисперсий плюс число попарных корреляций между численностями т. е.

Кроме дисперсий и корреляционных моментов в уравнения для них входят еще и функций — средних численностей состояний, которые предполагаются уже определенными из уравнений динамики средних. Уравнения для дисперсий и корреляционных моментов ) оказываются относительно самих этих переменных линейными, хотя математические ожидания численностей входят в них нелинейно.

В виду сравнительной сложности вопроса, мы не рассматриваем методику построения системы уравнений для дисперсий и корреляционных моментов (для частного случая эти уравнения описаны в статье [22]).