10. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОШИБКАМИ

Иногда на практике приходится встречаться с такими случаями, когда заявка, принятая к обслуживанию в СМО, обслуживается не с полной достоверностью, а с некоторой вероятностью ; другими словами, могут иметь место ошибки в обслуживании, результатом которых является то, что некоторые заявки, прошедшие СМО и якобы «обслуженные», в действительности остаются необслуженными из-за «брака» в работе СМО.

Примерами СМО с ошибками могут быть: справочные бюро, иногда выдающие неправильные справки и указания; корректор, могущий пропустить ошибку или неверно ее исправить; телефонная станция, иногда соединяющая абонента не с тем номером; система ПВО, для которой «обслуживанием» является обстрел цели, как известно, не всегда кончающийся ее поражением и т. д.

В разомкнутой СМО с ошибками появление ошибки в обслуживании практически не сказывается на потоке заявок: число источников заявок так велико, что интенсивность потока заявок вследствие ошибки практически не меняется.

Рис. 5.15

Поэтому для разомкнутых систем массового обслуживания учет ошибок в обслуживании сводится только к тому, что относительная пропускная способность системы уменьшается: она умножается на где — вероятность безошибочного обслуживания. Соответственно, умножается на и абсолютная пропускная способность. Что касается остальных характеристик СМО, таких, например, как время ожидания, число заявок в очереди и т. д., то на них ошибки в обслуживании не сказываются. Другое дело — для замкнутой системы массового обслуживания, когда заявка, обслуженная с ошибкой, вновь становится в очередь на обслуживание, и, следовательно, увеличивает загрузку СМО.

В качестве примера замкнутой СМО с ошибками рассмотрим одного рабочего, обслуживающего станков. Интенсивность потока неисправностей одного работающего станка равна К, среднее время обслуживания (наладки) станка с вероятностью обслуживание заканчивается удачно, и станок начинает снова работать; с вероятностью обслуживание оказывается неудачным, и станок снова становится в очередь на обслуживание. Требуется определить предельные вероятности состояний.

Будем нумеровать состояния СМО по числу неисправных станков:

— все станки исправны,

— один станок неисправен, налаживается, очереди нет,

— два станка неисправны, один налаживается, другой ждет в очереди,

станков неисправны, один налаживается, ждут в очереди,

— все станков неисправны, один налаживается, ждут очереди,

Граф состояний системы показан на рис. 5.15. Наличие ошибок в обслуживании сказывается в том, что у стрелок, идущих справа налево, стоит не интенсивность обслуживания а интенсивность «успешного обслуживания» где — вероятность того, что обслуживание будет выполнено успешно. Действительно, пусть, например, система находится в состоянии (один станок налаживается, ждут очереди). Вероятность того, что за время будет закончено обслуживание, равна но это обслуживание лишь с вероятностью будет успешным и переведет систему из состояния в с вероятностью же оно будет неуспешным и заявка снова вернется в очередь, следовательно, система опять останется в состоянии Значит, интенсивность потока успешных обслуживаний будет равна что и отмечено на рис. 5.15. Полученный граф ничем не отличается от того, который приведен на рис. 5.9, с той разницей, что вместо на нем стоит Значит, характеристики СМО с ошибками могут быть вычислены по формулам § 8, с заменой на

Пример 1. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Остановки работающего станка случаются в среднем два раза в час Процесс наладки отнимает у рабочего в среднем 10 минут, причем неисправность устраняется с вероятностью 2/3 (и остается неустраненной с вероятностью 1/3.). Определить характеристики этой замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего, абсолютную пропускную способность; среднее количество неисправных станков

Решение. Для по формулам (8.1) находим

Вероятность занятости рабочего:

Абсолютная пропускная способность (число неисправностей, устраняемых рабочим в час):

Среднее число неисправных станков находим по формуле (8.5):

Оригинальный случай СМО с ошибками представляет такая система массового обслуживания, в которой характер обслуживания зависит от длины очереди: при увеличении этой длины обслуживающий канал начинает «спешить» — в связи с этим уменьшается время обслуживания, но увеличивается вероятность ошибки. Разумеется, такая обстановка создается только там, где «каналом обслуживания» является живой человек.

Рассмотрим пример такой СМО. Возьмем замкнутую одноканальную СМО с источниками заявок (рабочего, обслуживающего станков).

Пусть при отсутствии очереди (в нормальных условиях) среднее время обслуживания равно а значит интенсивность потока обслуживаний равна При наличии в очереди ожидающих наладки станков рабочий начинает торопиться, и интенсивность потока обслуживаний увеличивается. Обозначим интенсивность потока обслуживаний при наличии в очереди станков через Одновременно с увеличением темпа обслуживания (в связи с увеличением числа станков, ожидающих в очереди) увеличивается и вероятность ошибки; при отсутствии очереди (в нормальных условиях) она равна а при наличии в очереди станков — Очевидно, нужно перемножить для каждого интенсивность обслуживания и вероятность ошибки и ввести одну «приведенную» интенсивность обслуживания:

Рис. 5.16

Граф состояний СМО представлен на рис. 5.16 (нумерация состояний — та же, что и выше). Применяя общие формулы для предельных вероятностей в схеме гибели и размножения, получим: