10. НАХОЖДЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА

Решение транспортной задачи, как и всякой задачи линейного программирования, начинается с нахождения опорного решения, или, как мы будем говорить, опорного плана. В отличие от общего случая ОЗЛП с произвольными ограничениями и минимизируемой функцией, решение ТЗ всегда существует. Действительно, из чисто физических соображений ясно, что хоть какой-то допустимый план существовать должен. Среди допустимых планов непременно имеется оптимальный (может быть, не один), потому что линейная функция L — стоимость перевозок заведомо неотрицательна (ограничена снизу нулем). В данном параграфе мы покажем, как построить опорный план. Для этого существуют различные способы, из которых мы остановимся на простейшем, так называемом «способе северо-западного угла». Пояснить его проще всего будет на конкретном примере.

Пример 1. Условия ТЗ заданы транспортной таблицей (см. табл. 10.1).

Требуется найти опорное решение ТЗ (построить опорный план).

Решение. Перепишем табл. 10.1 и будем заполнять ее перевозками постепенно, начиная с левой верхней ячейки (1,1) («северо-западного угла» таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счет запаса 48, имеющегося в пункте и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта й, удовлетворена, а в пункте осталось еще 30 единиц груза. Удовлетворим за счет них заявку пункта единиц), запишем 27 в клетке (1,2); оставшиеся 3 единицы пункта назначим пункту . В составе заявки пункта остались неудовлетворенными 39 единиц.

Таблица 10.1

Из них 30 покроем за счет пункта , чем его запас будет исчерпан, и еще 9 возьмем из пункта . Из оставшихся 18 единиц пункта выделим пункту оставшиеся 6 единиц назначим пункту что вместе со всеми 20 единицами пункта покроет его заявку (см. табл. 10.2).

На этом распределение запасов закончено: каждый пункт назначения получил груз согласно своей заявке. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце — заявке.

Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является не только допустимым, но и опорным решением транспортной задачи.

Таблица 10.2

Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными, их число удовлетворяет условию Остальные клетки — свободные (пустые), в них стоят ненулевые перевозки, их число равно Значит, наш план — опорный и поставленная задача построения опорного плана решена.

Возникает вопрос: а является ли этот план оптимальным по стоимости? Разумеется, нет! Ведь при его построении мы совсем не учитывали стоимостей перевозок Естественно, план не получился оптимальным. Действительно, стоимость этого плана, которая найдется, если умножить каждую перевозку на соответствующую стоимость, равна .

Таблица 10.3

Попробуем улучшить этот план, перенеся, например, 18 единиц из клетки (1,1) в клетку (2,1) и, чтобы не нарушить баланса, перенеся те же 18 единиц из клетки (2,3) в клетку (1,3). Получим новый план, приведенный в табл. 10.3.

Нетрудно убедиться, что стоимость нового плана равна т. е. на 126 единиц меньше стоимости плана, приведенного в табл. 10.3.

Таким образом, за счет циклической перестановки 18 единиц груза из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана. На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок.

Остановимся на одной особенности плана перевозок, которая может встретиться как при построении опорного плана, так и при его улучшении. Речь идет о так называемом «вырожденном» плане, в котором некоторые из базисных перевозок оказываются равными нулю. Рассмотрим конкретный пример возникновения вырожденного плана.

Пример 2. Дана транспортная таблица (без стоимостей перевозок, так как речь идет только о построении опорного плана) — см. табл. 10.4.

Таблица 10.4

Таблица 10.5

Таблица 10.6

Составить опорный план перевозок.

Решение. Применяя способ северо-западного угла, получим табл. 10.5.

Опорный план составлен. Особенностью его является то, что в нем только шесть, а не восемь отличных от нуля перевозок. Значит, некоторые из базисных перевозок, которых должно быть оказались равными нулю.

Нетрудно заметить, отчего это произошло: при распределении запасов по пунктам назначения в некоторых случаях остатки оказывались равными нулю и в соответствующую клетку не попадали.

Такие случаи «вырождения» могут возникать не только при составлении опорного плана, но и при его преобразовании, оптимизации.

В дальнейшем нам удобно будет всегда иметь в транспортной таблице базисных клеток, хотя в некоторых из них, может быть, будут стоять и нулевые значения перевозок. Для этого можно ничтожно мало изменить запасы или заявки, так чтобы общий баланс не нарушился, а лишние, «промежуточные» балансы уничтожились. Достаточно в нужных местах изменить запасы или заявки, например, на величину , а после нахождения оптимального решения положить

Покажем, как перейти от вырожденного плана к невырожденному на примере табл. 10.5. Изменим слегка запасы в первой строке и положим их равными . Кроме того, в третьей строке проставим запасы . Чтобы «свести баланс», в четвертой строке ставим запасы 20 — 2е (см. табл. 10.6). Для этой таблицы строим опорный план способом северо-западного угла.

В табл. 10.6 уже содержится столько базисных переменных, сколько требуется: . В дальнейшем, после оптимизации плана, можно будет положить .