3. ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ
Рассмотрим простейшую из всех задач теории массового обслу живания — задачу о функционировании одноканальной СМО с отказами.
Пусть, система массового обслуживания состоит только из одного канала 
и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 
, зависящей, в общем случае, от времени:
Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему.
Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени 
распределенного по показательному закону с параметром 
Рис. 5.1
Из этого следует, что «поток обслуживаний» — простейший, с интенсивностью 
Чтобы представить себе реально этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал — он будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью
Требуется найти:
1) абсолютную пропускную способность СМО (
);
2) относительную пропускную способность СМО 
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний:
— свободен,
— занят.
Граф состояний системы показан на рис. 5.1.
Из состояния 
в S, систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью X; из 
и 
— «поток обслуживание с интенсивностью 
Обозначим вероятности состояний 
Очевидно, для любого момента 
Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному в § 3 гл. 4. Имеем:
Из двух уравнений (3.4) одно является лишним, так как 
связаны соотношением (3.3).
Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо 
его выражение 
или
Это уравнение естественно решать при начальных условиях:
(в начальный момент канал свободен).
Линейное дифференциальное уравнение (3.5) с одной неизвестной функцией 
легко может быть решено не только для простейшего потока заявок 
), но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется 
). Не останавливаясь на последнем случае, приведем решение уравнения (3.5) только для случая 
:
Рис. 5.2
Зависимость величины 
от времени имеет вид, изображенный на рис. 5.2. В начальный момент (при 
канал заведомо свободен 
. С увеличением t вероятность 
уменьшается и в пределе 
равна 
Величина 
дополняющая 
до единицы, изменяется как показано на том же рис. 5.2.
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность 
есть не что иное, как относительная пропускная способность 
Действительно, 
есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно 
В пределе, при 
когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:
Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением:
В пределе, при 
абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна
Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:
Вероятность отказа Яотк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при
Пример. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка — вызов, пришедший в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов 
(вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора 
Все потоки событий — простейшие. Определить предельные (при 
) значения:
1) относительной пропускной способности 
2) абсолютной пропускной способности А;
3) вероятности отказа 
Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый разговор длился в точности 1,5 мин, и разговоры следовали бы один за другим без перерыва.
Решение. Определяем параметр 
потока обслуживаний:
По формуле (3.6) получаем относительную пропускную способность СМО:
Таким образом, в установившемся режиме система будет обслуживать около 45% поступающих вызовов.
По формуле (3.9) находим абсолютную пропускную способность;
т. е. линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту. Вероятность отказа:
значит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ. Номинальная пропускная способность канала:
что почти вдвое больше, чем фактическая пропускная способность, получаемая с учетом случайного характера потока заявок и случайности времени обслуживания.
