2. НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТА. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ

Оценка надежности системы и элементов требует введения количественных характеристик. Рассмотрим здесь некоторые из этих характеристик. Для краткости будем определять их применительно к «элементу»; однако те же определения будут относиться и к «системе».

Надежностью элемента (в узком смысле слова) называется вероятность того, что данный элемент в данных условиях будет работать безотказно в течение времени t. Эту вероятность мы будем обозначать Функция называется иногда «законом надежности».

Естественно, с увеличением времени функция убывает (рис. 7.1) При естественно предположить

Ненадежностью элемента называется вероятность того, что элемент откажет (выйдет из строя) в течение времени t. Очевидно,

Рассмотрим время Т безотказной работы элемента как случайную величину. Функция распределения этой случайной величины определяется как

Очевидно, — вероятность того, что за время t элемент откажет — представляет собой не что иное, как ненадежность элемента:

а его надежность дополняет до единицы:

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Таким образом, ненадежность обладает свойствами функции распределения неотрицательной случайной величины. Она равна нулю при не убывает при возрастании t и стремится к единице при (рис. 7.2).

На практике обычно вместо функции распределения пользуются ее производной — плотностью распределения или плотностью вероятности:

График плотности показан на рис. 7.3. Площадь, ограниченная кривой равна единице.

Величина — элемент вероятности — истолковывается как вероятность того, что время Т примет значение, лежащее в пределах элементарного участка

В литературе по надежности функцию часто называют «плотностью отказов». Во избежание недоразумений, связанных с нечеткой терминологией, мы будем называть более точно: плотностью распределения времени безотказной работы.

Плотность может быть приближенно определена из опыта, для чего ставится следующий эксперимент: наблюдается работа большого числа N однородных элементов; каждый из них работает до момента отказа. Время, в течение которого работал элемент, регистрируется. Полученные значения времени:

обрабатываются обычными методами математической статистики: строится гистограмма (рис. 7.4) и выравнивается с помощью какой-нибудь плавной кривой, обладающей свойствами плотности.

Ордината гистограммы на каждом элементарном участке времени представляет собой не что иное, как среднее число отказов за единицу времени, приходящееся на один испытанный элемент. Тот же смысл можно приписать и функции Приближенно плотность определяется по формуле

где — число элементов, отказавших на участке времени от t до (время отсчитывается от момента включения); N — общее число элементов; — длина элементарного участка времени.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Пример. Было испытано ламп на длительность безотказной работы. Результаты испытаний приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Найти приближенно плотность для каждого участка времени, построить гистограмму и выровнять (от руки) плавной кривой. Решение. На первом участке (0—10 час) имеем:

на втором

и т. д. Значения плотности приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.5

Гистограмма и выравнивающая кривая приведены на рис. 7.5. Отметим, что плотность изображенная на рис. 7.5, имеет максимум при т. е. максимальная частота отказов приходится на начальный период работы элемента.

Рис. 7.5

Такой характер кривой нередко наблюдается на практике, особенно при работе с электро- и радиодеталями, т. к. они часто имеют тенденцию отказывать немедленно или вскоре после включения. Иногда это повышение плотности в точке t=0 сказывается настолько резко, что заметную долю элементов можно считать отказавшими точно в момент включения. При этом время безотказной работы Т превращается из непрерывной в смешанную случайную величину, у которой одно значение обладает отличной от нуля вероятностью а для других существует только какая-то плотность распределения. Функция распределения такой случайной величины показана на рис. 7.6 — в точке она имеет скачок, равный а при — непрерывна.

Дифференцируя функцию при получим кривую «плотности» (рис. 7.7). Она характерна тем, что ограничивает площадь, равную уже не единице, а При обработке экспериментальных данных в таком случае отбирают в отдельную группу элементы, отказавшие при включении, и отношение их числа к общему числу N испытанных элементов считают за приближенное значение

а для остальных данных строится обычная гистограмма (при этом частоты находятся делением числа наблюдений в разряде на общее число наблюдений ).

В качестве характеристики надежности элемента часто применяется среднее время безотказной работы, т. е. математическое ожидание величины Т:

Рис. 7.6

Рис. 7.7

В случае, если величина Т непрерывна (т. е. ее функция распределения ) не имеет скачка при

Рис. 7.8

Рис. 7.9

В случае, когда Т — смешанная случайная величина, и отдельное значение имеет вероятность

Величина t может быть выражена не через плотность распределения а непосредственно через надежность . Действительно,

Интегрируя по частям, имеем:

Первый член в правой части выражения (2.9) равен нулю, так как для случайной величины Т, у которой существует математическое ожидание, разность при должна убывать быстрее, чем растет t. Поэтому

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию: среднее время безотказной работы элемента равно полной площади S, ограниченной кривой надежности и осями координат (рис. 7.8).

Очевидно, в случае, когда Т — смешанная случайная величина (значение имеет вероятность ), это правило остается в силе; вся разница в том, что кривая будет начинаться не от 1, а от (рис. 7.9).