Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. ЗАДАЧА О НАБОРЕ ВЫСОТЫ И СКОРОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМОдной из простейших задач, решаемых методом динамического программирования, является задача об оптимальном режиме набора высоты и скорости летательным аппаратом. С этой задачи мы и начнем изложение практических приемов динамического программирования, причем в целях методической ясности, условия задачи будут до крайности упрощены. Пусть самолет (или другой летательный аппарат), находящийся на высоте Требуется найти оптимальный режим набора высоты и скорости, при котором общий расход горючего будет минимальным. Решение будем строить следующим образом. Для простоты допустим, что весь процесс набора высоты и скорости разделен на ряд последовательных шагов (этапов) и за каждый шаг самолет увеличивает только высоту или только скорость. Будем изображать состояние самолета точкой Очевидно, существует множество возможных управлений — множество траекторий, по которым можно перевести точку S из
Рис. 3.2 Из всех этих траекторий нужно выбрать ту, на которой расход горючего будет минимальным. Будем решать задачу методом динамического программирования. Для этого разделим интервал скоростей
а интервал высот
Рис. 3.3 Число частей
Например, для случая, изображенного на рис. 3.3,
Любая траектория, переводящая точку S из
Рис. 3.4 Чтобы оптимизировать управление процессом набора высоты и скорости (т. е. выбрать ту траекторию, на которой расход горючего минимален), надо знать расход на каждом шаге (горизонтальном или вертикальном участке траектории). Предположим, что эти расходы заданы (см. рис. 3.4). На каждом отрезке записан расход горючего в условных единицах. Любой траектории, переводящей S из
Нам нужно из всех траекторий выбрать ту, для которой расход горючего минимален. Можно было бы, конечно, перебрать все возможные траектории, но их слишком много. Гораздо проще будет решить задачу методом динамического программирования. Процесс состоит из 14 шагов; будем оптимизировать каждый шаг, начиная с последнего. Конечное состояние самолета (точка SM) нам задано; 14-й шаг непременно должен привести нас в эту точку. Посмотрим, откуда мы можем переместиться в точку Рассмотрим отдельно правый верхний угол нашей прямоугольной сетки (рис. 3.5) с конечной точкой
Рис. 3.5
Рис. 3.6 Аналогичный смысл имеет запись «14» в кружке у точки Таким образом, условное оптимальное управление на последнем, Перейдем к планированию предпоследнего, 13-го шага. Для этого рассмотрим все возможные результаты предпредпоследнего, 12-го шага. После этого шага мы можем оказаться только в одной из точек Если мы оказались в точке Для точки Значит, оптимальный путь из Наконец, для точки Таким образом, переходя от точки к точке справа налево и сверху вниз (от конца процесса к его началу), можно для каждой узловой точки рис. 3.4 выбрать условное оптимальное управление на следующем шаге, т. е. направление, ведущее из данной точки в точку
Рис. 3.7. Чтобы найти в узловой точке оптимальное управление, нужно просмотреть два возможных пути из этой точки: направо и вверх, и для каждого из них найти сумму расхода горючего на этом шаге и минимального расхода горючего на оптимальном продолжении пути, уже построенном для следующей точки, куда ведет данный путь. Из двух путей (вправо и вверх) выбирается тот, для которого эта сумма меньше (если суммы равны, выбирается любой путь). В результате выполнения такой процедуры, из каждой узловой точки (см. рис. 3.8) проводится стрелка, указывающая условное оптимальное управление, а в кружке записывается минимальная стоимость перехода из этой точки в (условная минимальная стоимость). Рано или поздно процесс заканчивается, дойдя до исходной точки Из этой точки, как и из любой другой, идет стрелка, указывающая, куда надо из нее перемещаться, а в кружке записан минимальный расход горючего. На этом этап условной оптимизации управления заканчивается, и начинается завершающий этап безусловной оптимизации — построение оптимального управления на каждом шаге от первого до последнего. При этом мы строим оптимальную траекторию точки S, перемещаясь по стрелкам из На рис. 3.8 показан окончательный результат такой процедуры — оптимальная траектория отмечена жирными кружками и дополнительными стрелками. Число «139», стоящее у точки Таким образом, поставленная задача решена, и оптимальное управление процессом найдено. Оно состоит в следующем: — на первом шаге увеличивать только скорость, сохраняя неизменной высоту
Рис. 3.8 — на втором и третьем шагах увеличить высоту до — на четвертом, пятом и шестом шагах снова набирать скорость, пока она не станет равной — на седьмом и восьмом шагах набирать высоту и довести ее до — на девятом, десятом, одиннадцатом и двенадцатом шагах снова набирать скорость и довести ее до заданного конечного значения — на последних двух шагах (тринадцатом и четырнадцатом) набирать высоту до заданного значения На. Нетрудно на ряде примеров убедиться, что найденное управление действительно является оптимальным и на любой другой траектории расход горючего будет больше (или, по крайней мере, не меньше). Рассмотренная здесь задача оптимального набора высоты и скорости является простейшим примером, на котором часто демонстрируют основную идею динамического программирования. Действительно, в нашей упрошенной постановке задачи на каждом шагу нам нужно выбирать только между двумя управлениями: «набирать высоту» и «набирать скорость». Именно в связи с таким элементарно простым набором управлений задача очень легко решается до конца. Такая намеренно упрощенная постановка задачи не вполне соответствует действительности. Фактически летательный аппарат может набирать (а зачастую и набирает) высоту и скорость одновременно. В этом случае для каждой точки на плоскости
Рис. 3.9 Чтобы решить такую задачу динамического программирования, мы должны как-то установить «шаги» или «этапы» процесса. Нам здесь уже неудобно будет пользоваться тем разделением на этапы, которое мы выбрали для предыдущей задачи Удобнее будет разбить отрезок Расход горючего на прямолинейном участке определяется точкой, где он начинается, направлением участка и его длиной. Схема решения такой задачи методом динамического программирования несколько сложнее, чем вышеописанная «ступенчатая» схема, но в принципе отличается от нее только тем, что на каждом шаге приходится выбирать не между двумя направлениями, а между несколькими. Начинается процесс с последнего шага (рис. 3.11). Прежде всего, определяются возможные положения точки на прямой
Рис. 3.10 Движение по этому участку и будет (вынужденным) оптимальным управлением, в расход — (неизбежным) минимальным расходом. Таким образом, условная оптимизация последнего шага выполнена. Перейдем к предпоследнему шагу. Зададимся рядом точек на отрезке
Рис. 3.11 Для каждой из этих точек выявим оптимальное управление, т. е. то направление дальнейшего следования, двигаясь по котором) мы истратим на двух последних шагах минимум горючего. Чтобы найти это направление, мы должны для каждого из возможных отрезков, соединяющих данную точку с прямой Далее переходим к оптимизации Заметим, что описанная методика построения оптимальной траектории точки S (оптимального управления) отнюдь не относится только к случаю набора высоты и скорости. По осям могут откладываться не высота и скорость, а любые другие величины, например: — декартовы (полярные) координаты движущейся точки; — вес и три составляющие скорости ракеты; — количества средств, вкладываемые в разные отрасли производства и т. п. Равным образом, максимизируемый (минимизируемый) показатель эффективности W может быть любой природы, например: — расход материальных средств на систему мероприятий; — время перемещения из точки — доход, приносимый группой предприятий, и т. д. Выбор системы координат, в которой решается задача, и способ членения операции на шаги могут быть самыми разными; их конкретные формы диктуются, главным образом, соображениями удобства расчетной схемы, а иногда — наглядностью геометрической интерпретации.
|
1 |
Оглавление
|