12. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

До сих пор мы описывали процессы, протекающие в физических системах, либо с помощью уравнений для вероятностей состояний (см. гл. 4 и 5), либо с помощью уравнений динамики средних (гл. 6), где неизвестными функциями являются средние численности состояний. Уравнения первого типа применялись тогда, когда система была сравнительно проста и ее состояния — сравнительно немногочисленны. Уравнения второго типа были специально предназначены для описа процессов, происходящих в системах, состоящих из многочисленных элементов; для таких систем нам удавалось найти не вероятности состояний, а, в первую очередь, средние численности состояний.

На практике встречаются ситуации, в которых приходится приме нять уравнения смешанного типа. В этих уравнениях фигурируют как вероятности состояний, так и средние численности состояний.

Такой аппарат применяется, когда система S, в которой происходит процесс, состоит из элементов разного типа: немногочисленных (уникальных) и многочисленных (сопутствующих), причем состояния тех и других взаимообусловлены.

В подобных случаях для элементов первого типа можно составить дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний; для элементов же второго типа — уравнения динамики средних, где неизвестные функции — средние численности состояний. Такие уравнения мы будем называть уравнениями смешанного типа.

В качестве примера рассмотрим систему S, состоящую из большого количества N однородных приборов (элементов) и одного стабилизатора напряжения С, который выполняет важную функцию обеспечения нормального режима работы всех приборов сразу. Как стабилизатор, так и отдельные приборы могут выходить из строя (отказывать). Интенсивность потока неисправностей стабилизатора зависит от числа работающих приборов:

Вышедший из строя стабилизатор немедленно начинает ремонтироваться; среднее время ремонта стабилизатора зависит от числа одновременно с ним находящихся в ремонте приборов у,

Интенсивность потока неиспрабностей каждого прибора при работающем стабилизаторе равна при неработающем — Отказавший прибор немедленно начинает ремонтироваться; среднее время ремонта прибора зависит от того, ремонтируется ли стабилизатор и сколько приборов ремонтируется одновременно. При не ремонтируемом стабилизаторе это время равно при ремонтируемом , где у — число одновременно ремонтируемых приборов, — некоторые функции.

Требуется описать процесс, протекающий в системе, с помощью уравнений смешанного типа, в которых неизвестными функциями будут:

— вероятности состояний (для стабилизатора),

— средние численности состояний (для приборов).

Методика составления таких уравнений отличается от уже известной нам методики составления уравнений динамики средних. В самом деле, при составлении уравнений для средних численностей состояний мы пользовались принципом квазирегулярности, основываясь на том, что значения случайной величины — численности состояния — близки к своему среднему значению группируются вокруг этого среднего значения. При наличии в системе «уникального» элемента уже нет оснований считать, что это так. В этом случае типичной будет другая ситуация, когда распределение численностей состояний вспомогательного элемента имеет двухвершинный вид, как, например, показано на рис. 6.40.

По оси абсцисс откладываются численности какого-то состояния вспомогательного элемента, а по оси ординат — соответствующие вероятности. Если конкретно речь идет о численности работающих элементов, то правая группа значения (см. рис 6.40) соответствует работе системы при исправном стабилизаторе, а левая — при неисправном (разумеется, считая, что работа стабилизатора благоприятна для приборов). Если распределение таково, как на рис. 6.40, то случайная величина иногда будет близка к среднему значению левой группы, иногда — к среднему правой группы, но практически никогда не будет близка к «полному» среднему значению случайной величины, которое лежит где-то между обеимй группами. В таких случаях принцип квазирегулярности неприменим.

Посмотрим, нельзя ли чем-нибудь заменить этот принцип, чтобы все-таки решить поставленную задачу?

Рис. 6.40

Оказывается, можно, Действительно, то, что мы довольно неопределенно называли «средним значением одной группы» (в случае, когда распределение группируется в двух местах на отрезке от 0 до N) — это не что иное, как условное математическое ожидание случайной величины при условии, что стабилизатор работает — для одной группы, или при условии, что стабилизатор не работает — для другой.

Напомним, что такое условное математическое ожидание. Обычное математическое ожидание случайной величины (безусловное) определяется как сумма

где — вероятность того, что случайная величина примет значение

С учетом (12.4) формулу (12.3) можно переписать в виде:

Рассмотрим теперь какое-нибудь случайное событие С (в применении к нашему случаю — событие, состоящее в том, что стабилизатор работает). Определим условное математическое ожидание случайной величины при условии события С, заменив в формуле (12.5) вероятности — условными вероятностями:

где — условная вероятность того, что случайная величина примет значение k, при условии, что имеет место событие С.

Аналогично напишется определение и для условных математических ожиданий (случайная величина — число приборов в состоянии ремонта, С — событие, состоящее в том, что стабилизатор ремонтируется).

Преобразуем формулу (12.6) к другому виду. Для этого воспользуемся выражением для условной вероятности любого события А при условии, что событие С имеет место:

Тогда формула (12.6) примет вид:

Здесь означает вероятность того, что имеют место оба события: и (т. е. стабилизатор работает и случайная величина приняла значение к).

Чтобы упростить выражение (12.8) введем новую случайную величину:

С помощью этой случайной величины Х условное математическое ожидание запишется следующим образом:

Цействительно, для

поэтому математическое ожидание случайной величины запишется как

или, учитывая, что член суммы, соответствующий равен нулю,

Аналогично, вводя в рассмотрение случайные величины

получаем:

(12.10)

Заметим, что для любого момента времени

Теперь перейдем к выводу дифференциальных уравнений для описания процесса, протекающего в нашей системе. При этом мы будем исходить из того, что численности состояни и в случае, когда стабилизатор работает, приближенно равны условным математическим ожиданиям этих численностей при условии, что имеет место событие С; а когда он не работает — соответствующим условным математическим ожиданиям при условии, что имеет место событие С.

Рис. 6.41

Прежде всего, опишем нашу систему при помощи графа. Этот граф (рис. 6.41) будет выглядеть несколько по-иному по сравнению с обычным случаем. Он распадается на два подграфа. Первый (верхний) — это подграф состояний стабилизатора, который может быть в одном из двух состояний:

С — работает,

С — не работает (ремонтируется).

Что же касается прибора, то для него мы учитываем возможность находиться в одном из четырех состояний:

— прибор работает при работающем стабилизаторе,

— прибор не работает (ремонтируется) при работающем стабилизаторе,

— прибор работает при неработающем стабилизаторе,

— прибор ремонтируется при неработающем стабилизаторе,

Состояние стабилизатора в момент характеризуется одним из со бытий (до сих пор мы для краткости все время опускали Вероятности этих событий обозначим ) Как видно, это уже известные нам вероятности состояний стабилизатора.

Численности состояний мы уже ввели в рассмотрение: это Соответствующие математические ожидания обозначим:

Очевидно, для любого момента времени

(12.15)

Определим интенсивности потоков событий для графа рис. 6.41. Прежде всего, по условию;

(12.17)

Далее, прибор переходит из состояния П в или из состояния не сам по себе, а только вместе и одновременно со стабилизатором (когда тот выходит из строя); поэтому

(12.18)

Аналогично,

Что касается переходов прибора из и наоборот (по вертикальным стрелкам), то нетрудно установить соответствующие интенсивности:

(12.20)

Теперь, согласно нашему видоизменению принципа квазирегулярности, при составлении дифференциальных уравнений мы должны ваменить их условными математическими ожиданиями; а именно, там, где идет речь о переходах из левой части графа (в левую же или в правую) - условными математическими ожиданиями при условии, что стабилизатор исправен (условие С); а там, где переходы совершаются из правой части при условии С. Это означает, что в формулах (12.16), (12.18), (12.21) мы заменим

а в формулах (12.17), (12.19), (12.22)

Так как формулы (12.20) не содержат то в них ничего заменять не надо.

Пользуясь формулами (12.9) — (12.12), находим условные математические ожидания;

(12.23)

Итак, мы можем, наконец, выписать дифференциальные уравнения смешанного типа, приближенно описывающие нашу систему (аргумент t для краткости опускаем):

(12.24)

Заметим, что из этой системы уравнений можно исключить два уравнения: одно из первых двух, пользуясь условием и одно — из последующих четырех, пользуясь соотношением (12.15).

Эти уравнения могут решаться при любых начальных условиях; например, если в начале стабилизатор и все приборы работают:

В случае, если нам важно исследовать, скажем, как быстро система выходит из «затора», созданного случайным выходом из строя значительного числа приборов (L) и стабилизатора, начальные условия нужно выбрать другими: