6. МЕТОД ДИНАМИКИ СРЕДНИХ

1. ИДЕЯ МЕТОДА. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ

В гл. 4 и 5 мы познакомились с методами описания случайных процессов, протекающих в различных физических системах, с помощью специального математического аппарата — теории непрерывных марковских цепей. Этот аппарат дает возможность составить линейные дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, а также линейные алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний, отражающих относительное время пребывания системы в каждом из этих состояний для предельного, установившегося режима.

Эти методы представляют собой удобный математический аппарат только в том случае, когда число возможных состояний системы S сравнительно невелико, В случае, когда число возможных состояний системы велико (порядка нескольких десятков, а то и сотен), эти методы перестают быть удобными. Во-первых, совместное решение большого числа не только дифференциальных, но и алгебраических уравнений затруднительно даже при наличии ЭЦВМ. Кроме того, если даже нам удастся решить эти уравнения и найти вероятности всех состояний системы, полученные результаты будут трудно обозримыми. Для того, чтобы их осмыслить, нам все равно придется пользоваться какими-то обобщенными характеристиками процесса, какими-то средними значениями (такими, например, как «среднее число занятых каналов» или «среднее число заявок в очереди», которыми мы пользовались в теории массового обслуживания). До сих пор мы такие средние характеристики вычисляли через вероятности состояний. Однако в случае, когда состояний слишком много, такой способ становится неприемлемым.

Возникает вопрос: а нельзя ли составить и решить уравнения непосредственно для интересующих нас средних характеристик, минуя вероятности состояний? Оказывается, можно — иногда точно, иногда — приближенно, с некоторой погрешностью. Такими задачами и занимается так называемый «метод динамики средних». Он ставит себе целью непосредственное изучение средних характеристик случайных процессов, протекающих в сложных системах с большим (практически необозримым) числом состояний.

Любопытно, что основой применимости метода динамики средних является именно то, что препятствует изучению явлений более подробными методами: сложность изучаемых процессов и большое число участвующих в них элементов.

Как и везде, где применяются методы теории вероятностей, массовость изучаемых явлений позволяет установить в них сравнительно простые закономерности.

Продемонстрируем идею метода динамики средних на следующем простейшем примере.

Пусть имеется сложная физическая система S, состоящая из большого числа N однородных элементов (или «единиц»), каждый из которых может случайным образом переходить из состояния в состояние. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему S (и каждый элемент) из состояния в состояние — пуассоновские (хотя в общем случае и не простейшие, а с интенсивностями, произвольным образом зависящими от времени). Тогда процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Допустим, что каждый элемент может быть в любом из возможных состояний:

а состояние системы S в каждый момент характеризуется числом элементов, находящихся в каждом из состояний. Нам требуется исследовать случайный процесс, протекающий в системе

В принципе, можно было бы применить ту же методику, которую мы уже применяли ранее при изучении подобных процессов, а именно, рассмотреть все возможные состояния системы

— все элементы находятся в состоянии в других состояниях нет ни одного элемента;

— один элемент находится в состоянии все

остальные — в состоянии

и т. д., и найти вероятности этих состояний. Однако при большом числе элементов N даже перечисление возможных состояний системы S затруднительно, не то, что составление и решение уравнений для вероятностей состояний.

Очевидно, нам нужно идти другим путем. Отвлечемся от возможных состояний системы в целом и сосредоточим свое внимание на отдельном элементе (так как все элементы однородны, все равно, какой это будет элемент) и рассмотрим для него граф состояний (рис. 6.1).

Введем в рассмотрение случайную величину — число единиц, находящихся в момент t в состоянии Будем ее называть кратко численностью состояния (ой в момент t. Очевидно, для любого момента t сумма численностей всех состояний равна общей численности элементов:

или, короче:

Рассмотренная нами величина для любого t представляет собой случайную величину, а вообще, при меняющемся t — случайную функцию времени.

Поставим себе задачу: найти для любого t основные характеристики случайной величины — ее математическое ожидание

и дисперсию:

Другими словами, для каждого момента времени t мы хотим знать среднее значение численности каждого состояния, а также разброс фактической численности около средней.

Рис. 6.1

Для того, чтобы найти эти характеристики, надо знать интенсивности всех потоков событий, переводящих элемент (не систему, а именно элемент!) из состояния в состояние.

Предположим, что эти интенсивности нам известны и проставлены на графе состояний (см. рис.

6.1). Тогда численность каждого состояния можно представить как сумму случайных величин, каждая из которых связана с отдельным элементом, а именно: равна единице, если этот элемент в момент времени t находится в состоянии и равна нулю, если не находится:

Очевидно, для любого момента t общая численность состояния равна сумме случайных величин (1.4):

или короче

Если интенсивности потоков событий, переводящих каждый элемент из состояния в состояние, нам известны (а, стало быть, не случайны), то величины

для отдельных элементов независимы между собой. По теореме сложения математических ожиданий (для которой, кстати, независимости не требуется) и теореме сложения дисперсий:

(1.6)

Найдем числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсию — случайной величины заданной выражением (1.4). Эта величина имеет два возможных значения: 0 и 1. Вероятность первого из них равна — вероятности того, что элемент находится в состоянии (так как элементы однородны, то для всех них эта вероятность одна и та же). Ряд распределения каждой из случайных величин один и тот же и имеет вид:

где в верхней строке указаны возможные значения случайной величины, а в нижней — их вероятности.

Математическое ожидание случайной величины, заданной рядом распределения (1.7), равно:

где — вероятность того, что отдельный элемент в момент t будет находиться в состоянии Дисперсия случайной величины с рядом распределения (1.7) равна:

Подставляя эти выражения в формулы (1.6), найдем математическое ожидание и дисперсию численности состояния:

Таким образом, нам удалось для любого t найти математическое ожидание и дисперсию численности любого состояния они выражаются формулами (1.8) и (1.9) через число элементов N и вероятность состояния любого элемента.

Зная дисперсию можно найти среднее квадратическое отклонение численности состояния

и, значит, для любого момента времени t указать ориентировочно диапазон практически возможных значений численности:

Таким образом, не определяя вероятностей состояний системы S в целом, а занимаясь только вероятностями состояний отдельных ее элементов, можно определить, чему равна для любого момента средняя численность каждого состояния и в каких пределах находится фактическая численность. Если мы знаем вероятности всех состояний одного элемента

как функции времени, то нам известны и средние численности состояний:

и их дисперсии:

и средние квадратические отклонения:

Таким образом, поставленная задача сводится к определению вероятностей состояний одного отдельного элемента.

Рис. 6.2

Эти вероятности, как известно, могут быть найдены как решения дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; правила их составления даны в § 6 гл. 4. Для этого нужно только знать (точно или приближенно) интенсивности потоков событий, переводящих каждый элемент из состояния в состояние. Пока что мы будем предполагать, что эти интенсивности нам известны и не случайны. О том, из каких соображений можно определять эти интенсивности, мы будем говорить несколько позже (см. § 2).

Заметим, что вместо дифференциальных уравнений для вероятностей состояний можно (и иногда бывает удобнее) писать уравнения непосредственно для средних численностей состояний. Действительно, как видно из формулы (1.8), средняя численность каждого состояния пропорциональна вероятности этого состояния (отличается от нее множителем N) и, очевидно, удовлетворяет тем же дифференциальным уравнениям, только интегрировать их нужно при других начальных условиях, соответствующих начальным численностям состояний.

Пример 1. Система S состоит из N однородных элементов; граф состояний каждого элемента представлен на рис. 6.2. В начальный момент (при t = 0) все элементы находятся в состоянии Написать систему дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять средние численности состояний и указать, при каких начальных условиях ее нужно решать.

Считая уравнения решенными, написать выражения для дисперсий численностей состояний.

Решение. Непосредственно по графу (рис. 6.2) составляем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Мы знаем, что одно из этих уравнений (любое) может быть отброшено, но мы пока сохраним их все.

Умножим левую и правую части каждого из уравнений (1.12) на число элементов N и введем в левых частях N под знак производной; получим:

Теперь вспомним, что

(аргумент t у этих функций для краткости отброшен) и перепишем уравнения (1.13) в виде:

В уравнениях (1.14) неизвестными функциями являются непосредственно средние численности состояний. Как видно, эти уравнения составлены совершенно по тому же правилу, что и уравнения для вероятностей состояний, поэтому их можно было составить сразу, минуя промежуточные этапы (1.12) и (1.13). Так мы и будем поступать в дальнейшем.

Очевидно, для каждого t средние численности состояний удовлетворяют условию:

и поэтому одно (любое) из уравнений (1.14) можно отбросить. Отбросим, например, третье уравнение (оно наиболее сложно) и в остальные уравнения вместо подставим выражение:

Получится окончательно система трех дифференциальных уравнений:

Эту систему нужно решать при начальных условиях:

Интегрирование такой системы дифференциальных уравнений для конкретных значений входящих в нее параметров проще всего осуществить на машине или же вручную, методом численного интегрирования.

Предположим, что это осуществлено и нами получены четыре функции, выражающие средние численности состояний:

Найдем дисперсии численностей состояний:

Ранее мы показали, что

Отсюда, учитывая зависимость получим:

(1.18)

Таким образом, если интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, не зависят от численностей состояний, то, вычислив средние численности состоянии можно сразу же найти дисперсии численностей состояний по формулам:

и их средние квадратические отклонения:

Заметим, что зная математические ожидания и средние квадратические отклонения численностей состояний, мы получаем возможность оценивать также и вероятности различных состояний системы в целом, т. е., например, вероятность того, что численность какого-то состояния будет заключена в определенных пределах. Действительно, предположим, что число элементов N в системе велико. Тогда численность какого-то (k-го) состояния можно приближенно считать распределенной по нормальному закону. А если это так, то вероятность того, что случайная величина (численность состояния) будет заключена в каких-то границах от а и до Р, будет выражаться формулой:

где — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение численности состояния, — функция Лапласа (см. приложение, табл. 1).

Вернемся к уравнениям для средних численностей состояний и сформулируем правило их составления. Оно состоит в следующем.

Если в системе S, состоящей из N однородных элементов типа происходит марковский случайный процесс, причем известен граф состояний каждого элемента и указаны интенсивности всех потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние (не зависящие от численностей состояний), то для средних численностей состояний можно составить дифференциальные уравнения, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

Производная средней численности состояния равна сумме стольких членов, сколько стрелок связано с данным состоянием-, если стрелка направлена из состояния, член имеет знак шинусь, если в состояние — знак плюс». Каждый член равен произведению интенсивности потока событий, переводящего элемент по данной стрелке, на среднюю численность того состояния, из которого исходит стрелка.

Составленные по этому правилу дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются средние численности состояний, мы будем называть уравнениями динамики средних.

Пример 2. Физическая система S состоит из однородных элементов — приборов Каждый из приборов может находиться в одном из двух состояний:

— исправен,

— неисправен.

Переход элемента из состояния Щ в состояние происходит под действием потока неисправностей с интенсивностью среднее время ремонта (восстановления) прибора равно Составить уравнения динамики средних и решить их при условии, что в начальный момент все приборы исправны. Изобразить зависимости на графике. Найти и построить на графике функции — средние квадратические отклонения численностей состояний.

Рис. 6.3

Решение. Граф состояний элемента имеет вид, показанный на рис. 6.3. Обозначаем:

— среднее число исправных элементов в момент

— среднее число неисправных элементов в тот же момент.

Уравнения для средних численностей состояний будут:

Вместо двух уравнений можно ограничиться одним, если учесть, что для любого

Подставляя (1.23) в первое уравнение (1.22), получим:

(1.24)

Интегрируя это уравнение при начальном условии

получим:

Из (1.23) имеем:

Построим на графике функции (1.25) и (1.26) (рис. 6.4). Из графика видно, что при средние численности состояний стремятся к предельным значениям:

Определим дисперсии численностей состояний!

Рис. 6.4

Рис. 6.5

Очевидно, дисперсия численности второго состояния будет такая же:

Средние квадратические отклонения численностей состояний равны:

График функции показан на рис. 6.5.