6. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ БОЯ (МОДЕЛЬ А)

Метод динамики средних может быть с успехом применен для приближенного описания процессов боевых действий, в которых участвуют многочисленные группы тех или других элементов (танки, корабли, самолеты и т. п.). Более того, именно описание процессов боевых действий («динамики боя») — одно из первых по времени применений метода динамики средних. Дифференциальные уравнения, описывающие изменение численностей борющихся групп в процессе боя, под названием «уравнений Ланчестера», появились еще во времена первой мировой войны. Правда, область их применения была тогда очень узка (всего две-три модели), а связь метода с марковскими случайными процессами не установлена. В настоящее время метод динамики средних получил широкое развитие и представляет собой хорошо разработанный и весьма гибкий аппарат, позволяющий описывать самые разнообразные боевые ситуации (см. например, [1, 11, 13, 23]).

Здесь мы рассмотрим только немногие из задач динамики боя, преимущественно под методическим углом зрения, не останавливаясь подробно на количественной стороне зависимостей.

Мы будем рассматривать боевые ситуации, в которых сталкиваются группировки, состоящие из большого количества элементов, которые мы будем называть «боевыми единицами» (самолеты, танки, корабли, ракетные установки и т. д.) Кроме боевых единиц, в некоторых моделях будут участвовать «вспомогательные единицы» (радиолокационные станции, разведчики, ложные цели и т. д.), отличие которых от боевых единиц — в том, что они не могут сами вести огонь по объектам противника, выполняя различные обеспечивающие задачи.

Строя математическую модель, мы будем рассматривать описываемые явления в рамках марковских случайных цепей (с вытекающим из них методом динамики средних). Поэтому мы всегда будем предполагать, что каждая боевая единица производит пуассоновский поток выстрелов с некоторой интенсивностью к, которая может быть как постоянной, так и переменной, зависящей от времени. При расчете этой интенсивности необходимо принимать во внимание не просто «скорострельность» боевой единицы, а ее фактическую среднюю скорострельность, с учетом времени, потребного на расчет прицельных данных, прицеливание, перезаряжание и проч.

Если стрельба боевой единицы ведется по однородным целям, каждая из которых в результате выстрела по ней может быть только «поражена» или «не поражена» («поражение» означает выход из строя), то удобно вместо скорострельности X пользоваться эффективной скорострельностью

где — вероятность поражения единицы направленным по ней выстрелом. Величина X представляет собой не что иное, как интенсивность потока «успешных» (поражающих выстрелов, производимого одной боевой единицей.

Расчеты показывают, что при рассмотрении динамики боя многочисленных групп допущение о пуассоновском характере потока выстрелов (или успешных выстрелов) не искажает сколько-нибудь серьезно картину явления. Кроме того, надо учитывать, что задача метода динамики средних — создание не подробной и точной, а грубо приближенной модели боя.

Рис. 6.30

Рис. 6.31

Рассмотрим сначала следующую простейшую модель боя — назовем ее «моделью А». В бое принимают участие две группировки: К (Красные) и С (Синие) (рис. 6.30). Будем отмечать параметры, относящиеся к Красным и Синим верхними индексами «К» и «С». В составе группировки К имеется - однородных боевых единиц (самолетов, танков, кораблей), в составе группировки боевых единиц, однородных между собой, но не обязательно однородных с боевыми единицами Красных. Эффективная скорострельность одной боевой единицы Красных равна Синих — .

Относительно организации боя мы примем следующие предположения.

1. Каждая боевая единица Красных может вести огонь по каждой боевой единице Синих, и наоборот.

2. Огонь является прицельным, т. е. направляется по вполне определенной боевой единице; одним выстрелом нельзя поразить более одной единицы.

3. Обстрелу подвергается с одинаковой вероятностью любая из еще не пораженных единиц; после поражения единицы огонь по ней прекращается и немедленно переносится на другую, еще не пораженную.

4. Пораженная единица прекращает стрельбу и в дальнейших боевых действиях не участвует.

Таким образом, в нашей простейшей модели каждая боевая единица может быть в одном из двух состояний: «не поражена» значит, ведет огонь) и «поражена» (прекратила огонь).

Граф состояний элементов системы, разделенный на два подграфа К и С, показан на рис. 6.31. Буквами обозначены интенсивности потоков событий, переводящих элемент (боевую единицу) из состояния в состояние. Обозначим, как всегда,

численности состояний в момент времени t. Через будем обозначать соответствующие средние численности.

Очевидно, в рассматриваемом случае интенсивности меняются со временем и зависят от численностей состояний (количества стреляющих единиц). Определим эти интенсивности. Будем рассуждать следующим образом. Каждая боевая единица Синих производит в единицу времени успешных выстрелов. В момент t стреляет боевых единиц Синих; все вместе в единицу времени они дают в среднем

успешных выстрелов. Эти выстрелы распределяются равномерно между всеми сохранившимися к данному моменту боевыми единицами Красных, так что на каждую из них приходится в среднем

успешных выстрелов. Но это еще не все: интенсивность (6.1) надо умножить на функцию (см. формулу (4.4) § 4), которая обращается в нуль при (если в момент t у Красных не сохранилось ни одной боевой единицы, Синим попросту не по кому будет стрелять).

Учитывая, что (см. формулу (4.5) § 4), получим

Аналогично находим

Зная эти интенсивности и пользуясь принципом квазирегулярности, можно на основе графа (см. рис. 6.31) сразу написать уравнения динамики средних:

Уравнений для не пишем, так как для любого

Заметим, что, как правило, нас и не интересуют численности уничтоженных единиц так как активного участия в боевых действиях они не принимают.

Решать уравнения (6.4) можно при любых начальных условиях; обычно пблагают, что в начальный момент все единицы целы:

Обратим внимание на то, что в начальных стадиях боя, далеких от стадии «истощения», среднее число элементов в состояниях К), Q больше единицы, значения функций и вместо уравнений (6.4) можно записать:

Рис. 6.32

Уравнения (6.5) известны в литературе как уравнения Ланчестера рода. Следует отметить, что такие уравнения, даже в более точной форме (6.4), пригодны для описания динамики боя только на начальных его стадиях, когда средние численности обеих группировок еще не малы по сравнению с их начальными численностями, а в далеко зашедших стадиях боя (стадия «истощения») перестают быть пригодными даже приближенно.

Заметим, что, в отличие от уравнений (6.4), уравнения (6.5) линейны, что представляет существенное преимущество при их решении.

При выводе уравнений (6.4), (6.5) мы никак не оговаривали, постоянны или переменны эффективные скорострельности — уравнения справедливы как в том, так и в другом случае. Однако, при постоянных эффективных скорострельностях уравнения (6.5) удается проинтегрировать в явном виде. Опуская элементарные преобразования, приведем прямо окончательный результат:

где функции.

Кривые имеют разный вид в зависимости от первоначального соотношения сил и соотношения эффективных скорострельностей

Например, на рис. 6.32 показан случай, когда в начале боя Синие имеют количественное преимущество над Красными а в ходе боя Красные побеждают, благодаря большей эффективной скорострельности Обратим внимание на то, что кривая (численность побеждаемой стороны) подходит к оси абсцисс под углом и при продолжении пересекла бы ее, т. е. средняя численность побеждаемой стороны стала бы отрицательной, что, разумеется, невозможно. Это происходит потому, что для конечных стадий боя, когда сторона С близка к состоянию истощения, уравнения (6.5), как мы уже говорили, перестают быть применимыми. Если бы мы решали не уравнения (6.5), а более точные уравнения (6.4), кривая плавно приближалась бы к оси .

Анализируя решение уравнений Ланчестера (6.6), можно проследить, как влияют на это решение условия боя (параметры ). Для этого разделим уравнения (6.6) на и перейдем к относительным количествам сохранившихся боевых единиц в момент

Из формул (6.7) видно, что убывание численностей каждой из сторон в большей мере зависит от соотношения сил , чем от соотношения эффективных скорострельностей MX (первое отношение входит в формулы (6.7) непосредственно, а второе — под знаком корня). Это вполне объяснимо: действительно, при той организации боя, которая принята в нашей модели А (стрельба ведется только по непораженным единицам) Красным выгоднее, например, вдвое увеличить число единиц чем вдвое увеличить эффективную скорострельность каждой на поражение двух единиц противник вынужден истратить вдвое больше средств, чем на поражение одной.

Более подробный анализ решения уравнений Ланчестера 2-го рода не входит в наши задачи; интересующегося читателя можно отослать к руководствам [11, 13, 23].