3. УЧЕТ ПОПОЛНЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ

До сих пор мы применяли метод динамики средних к решению только гаких задач, где система была замкнутой, т. е. количество элементов участвующих в процессе, оставалось неизменным. На практике нередко встречаются задачи, где в ходе процесса численности элементов, находящихся в каких-то состояниях, пополняются извне. Это пополнение очень легко учесть в уравнениях динамики средних.

Рассмотрим в качестве примера систему S, состоящую из N однородных элементов. Граф состояний элемента показан на рис. 6.12.

Интенсивности в общем случае зависят от численностей состояний (при составлении дифференциальных уравнений эти численности заменяются средними численностями ).

Рис. 6.12

Рис. 6.13

Если пополнения состава численностей состояний в ходе процесса не происходит, то уравнения динамики средних будут:

причем любое из этих уравнений может быть отброшено, и соответствующая переменная выражена из условия:

Теперь предположим, что контингент элементов, находящихся в одном из состояний (например, ) пополняется извне, причем интенсивность пополнения, т. е. число элементов, вводимых в единицу времени в состояние равна (в случае, если за единицу времени вводится случайное число единиц, интенсивностью пополнения будет называться среднее число единиц, вводимых извне за единицу времени). Величина б может быть как постоянной, так и переменной, как зависящей, так и не зависящей от средних численностей состояний.

При наличии пополнения первое уравнение системы (3.1) изменится; в правой части его появится слагаемое, равное пополнению :

а остальные уравнения останутся такими, как были.

Заметим, что условие (3.2) также изменится.

Раньше в любой момент времени сумма всех средних численностей была равна одной и той же величине N; теперь она будет равна изменяющейся со временем численности

где — начальное значение численности элементов.

Таким образом, учет пополнения численностей состояний сводится к тому, что к правой части соответствующего дифференциального уравнения прибавляется слагаемое, равное интенсивности пополнения — среднему числу элементов, вводимых в данное состояние за единицу времени.

Пример 1. Рассматривается система, состоящая (в начальный момент) из однородных технических устройств (приборов), каждый из которых может быть в одном из следующих состояний:

— исправен;

— неисправен, осматривается;

— признан негодным, списан;

— ремонтируется.

Соответствующие средние численности обозначим . Граф состояний элемента показан на рис. 6.13.

Интенсивность потока неисправностей работающего прибора равна К. Среднее время осмотра не зависит от числа осматриваемых приборов и равно . Неисправный прибор оказывается негодным и списывается с вероятностью , вероятностью направляется в ремонт. Среднее время, которое прибор проводит в состоянии ремонта, есть некоторая функция от числа приборов, одновременно находящихся в ремонте:

Чтобы скомпенсировать убыль приборов в результате списания, производится пополнение численности приборов извне (исправными приборами), причем за единицу времени в систему вводится в среднем исправных приборов.

Требуется:

— написать уравнения динамики средних с учетом пополнения,

— определить, какова должна быть функция для того, чтобы списание приборов в среднем было скомпенсировано,

— написать формулу для суммарного числа элементов находящихся во всех состояниях к моменту t.

Решение. На графе рис. 6.13 проставляем интенсивности потоков событий. Интенсивность приближенно принимаем обратно пропорциональной среднему времени ремонта (строго говоря, это верно только для стационарного пуассоновского потока):

Заменяя истинную численность ремонтируемых приборов ее математическим ожиданием получим:

Система дифференциальных уравнений динамики средних будет:

Заметим, что в данном случае мы не можем так просто отбросить любое из уравнений, как в случае без пополнения, так как условие (3.2) видоизменяется; общее число элементов в системе зависит от времени и равно:

Для того чтобы в среднем скомпенсировать списываемые приборы, интенсивность пополнения должна быть равна среднему числу приборов, списываемых за единицу времени. Всего в единицу времени списывается (переходит из состояния в з) в среднем

приборов; значит, мы должны положить

При такой интенсивности пополнения система уравнений динамики средних примет вид:

Из числа уравнений (3.6) можно безболезненно исключить третье, так как величина не входит ни в одну правую часть. Величину в условиях данного примера можно вычислить очень просто: для каждого момента t она равна суммарному числу вновь поступивших приборов (так как все списанные в среднем компенсируются) и, значит,

В данном примере 1 пополнение вводилось только в одно состояние; вообще, это может быть и не так (например, можно вводить пополнение неисправными приборами, которые должны ремонтироваться местными средствами). Заметим, кроме того, что функции пополнения могут иметь как положительные, так и отрицательные значения (убыль элементов).

Рис. 6.14

Рис. 6.15

Пополнения, вводимые в состояния, иногда бывает удобно изображать наглядно, на графе состояний (рис. 6.14). Условимся изображать их «полустрелками», не идущими ни из какого состояния, а в случае «убыли» — не направленными ни в какое состояние (для наглядности полустрелки, в отличие от стрелок, будем делать двойными). Размечая граф интенсивностями потоков событий, против полустрелок будем писать не интенсивность, приходящуюся на один элемент, а интенсивность приходящуюся на систему в целом (это делается для того, чтобы избежать ненужного деления и умножения на одно и то же число).

Пример 2. В условиях примера 1 пополнение численностей относится к двум состояниям: (исправные приборы) и (ремонтируемые приборы), причем некоторая доля а вновь поставляемых приборов дается исправными, а доля (1 — а) — неисправными; последние сразу же начинают ремонтироваться. Как и в предыдущем примере, суммарное пополнение в единицу времени равно

Построить граф состояний, отразив на нем пополнение, написать уравнения динамики средних, определить общее среднее количество элементов в системе как функцию времени.

Решение. Граф состояний показан на рис. 6.15; полустрелки, направленные в состояния , изображают пополнение. Уравнения динамики средних имеют вид:

Из них по-прежнему удобнее всего исключить третье уравнение и выразить как

Общее суммарное число элементов в системе меняется во времени согласно формуле: