7. СМО С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ

До сих пор мы рассматривали СМО с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, раз ставшая в очередь, уже не покидает ее и «терпеливо» дожидается обслуживания. На практике нередко встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рис. 5.8

Рассмотрим СМО подобного типа, оставаясь в рамках марковской схемы. Предположим, что имеется -канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди ограничено некоторым случайным сроком со средним значением таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует как бы «поток уходов» с интенсивностью

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Будем снова нумеровать состояния системы по числу заявок, связанных с системой — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

Граф состояний системы показан на рис. 5.8.

Разметим этот граф, т. е. проставим у стрелок соответствующие интенсивности. Снова, как и раньше, у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок X. Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживаний всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживаний всех каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .

Как видно из графа, перед нами опять схема гибели и размножения; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме, напишем:

или, вводя обозначения:

Отметим некоторые особенности рассмотренной СМО с «нетерпеливыми» заявками по сравнению с ранее рассмотренной СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди не ограничена заранее никаким числом и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ). Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд в знаменателе первой формулы (7.1) сходится при любых положительных значениях .

Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсив ностью V. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени; всего в единицу времени в среднем будет обслужено

заявок. Относительная пропускная способность СМО будет

Среднее число занятых каналов по-прежнему получим, деля абсолютную пропускную способность на

Это позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (7.2). Действительно, из (7.5) получим:

а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения с вероятностями

Мы не будем выводить формул для среднего времени ожидания в очереди, так как для этого требуются сравнительно сложные выкладки.

Заметим, что, в отличие от формул §§ 5, 6, где суммы большого (или бесконечного) числа слагаемых «свертываются» при помощи формул для суммы геометрической прогрессии, в формуле (7.1) фигурирует сумма бесконечного ряда, не являющегося прогрессией. Однако эта сумма вычисляется приближенно, причем достаточно легко, так как члены ряда быстро убывают с увеличением их номера. В качестве приближенного значения для бесконечной суммы берется сумма конечного числа членов, а остаток оценивается следующим образом:

Можно доказать, что бесконечная сумма в квадратных скобках меньше, чем — и выражение (7.8) меньше, чем

В заключение заметим, что если в формулах (7.1) перейти к пределу при (или, что то же, при (3 0), то при получатся формулы (6.10) предыдущего параграфа, т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми».