3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН НАДЕЖНОСТИ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ

Наиболее удобным для аналитического описания является так называемый экспоненциальный (или показательный) закон надежности, который выражается формулой

где — постоянный параметр.

График экспоненциального закона надежности показан на рис. 7.10. Для этого закона функция распределения времени безотказной работы имеет вид

а плотность

Это есть уже известный нам показательный закон распределения, по которому распределено расстояние между соседними событиями в простейшем потоке с интенсивностью (см. § 4 гл. 4).

При рассмотрении вопросов надежности часто бывает удобно представлять себе дело так, словно на элемент действует простейший поток отказов с интенсивностью Я; элемент отказывает в момент, когда приходит первое событие этого потока.

Образ «потока отказов» приобретает реальный смысл, если отказавший элемент немедленно заменяется новым (восстанавливается).

Последовательность случайных моментов времени, в которые проис ходят отказы (рис. 7.11), представляет собой простейший поток событии, а интервалы между событиями — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону (3,3),

Понятие «интенсивности отказов» может быть введено не только для экспоненциального, но и для любого другого закона надежности о плотностью вся разница будет в том, что при неэкспоненциальном законе интенсивность отказов Я будет уже не постоянной величиной, а переменной.

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Интенсивностью (или иначе «опасностью») отказов называется отношение плотности распределения времени безотказной работы элемента к его надежности:

Поясним физический смысл этой характеристики. Пусть одновременно испытывается большое число N однородных элементов, каждый — до момента своего отказа. Обозначим — число элементов, оказавшихся исправными к моменту , как и и раньше, — число элементов, отказавших на малом участке времени На единицу времени придется среднее число отказов

Разделим эту величину не на общее число испытываемых элементов N, а на число исправных к моменту t элементов . Нетрудно убедиться, что при большом N это отношение будет приближенно равно интенсивности отказов

Действительно, при большом N

и

Но согласно формуле (2.6)

откуда

В работах по надежности приближенное выражение (3.5) часто рассматривают как определение интенсивности отказов, т. е. определяют ее как среднее число отказов в единицу времени, приходящееся на один работающий элемент.

Характеристике можно дать еще одно истолкование: это есть условная плотность вероятности отказа элемента в данный момент времени t, при условии, что до момента t он работал безотказно. Действительно, рассмотрим элемент вероятности — вероятность того, что за время элемент перейдет из состояния «работает» в состояние «не работает», при условии, что до момента t он работал. В самом деле, безусловная вероятность отказа элемента на участке равна Это — вероятность совмещения двух событий:

А — элемент работал исправно до момента

В — элемент отказал на участке времени По правилу умножения вероятностей:

Учитывая, что получим:

а величина есть не что иное, как условная плотность вероятности перехода из состояния «работает» в состояние «отказал» для момента t.

Если известна интенсивность отказов , то можно выразить через нее надежность Учитывая, что запишем формулу (3.4) в виде:

Интегрируя, получим:

откуда

Таким образом надежность выражается через интенсивность отказов.

В частном случае, когда , формула (3.6) дает:

т. е. уже известный нам экспоненциальный закон надежности.

Пользуясь образом «потока отказов», можно истолковать не только формулу (3.7), но и более общую формулу (3.6). Представим себе (совершенно условно!), что на элемент с произвольным законом надежности действует поток отказов с переменной интенсивностью Тогда формула (3.6) для выражает вероятность того, что на участке времени (0, t) не появится ни одного отказа.

Таким образом, как при экспоненциальном, так и при любом другом законе надежности работу элемента, начиная с момента включения можно представлять себе так, что на элемент действует пуассоновский поток отказов; для экспоненциального закона надежности это будет поток с постоянной интенсивностью , а для неэкспоненциального — с переменной интенсивностью

Рис. 7.12

Заметим, что этот образ годится только в том случае, когда отказавший элемент не заменяется новым. Если, как мы это делали раньше, немедленно заменять отказавший элемент новым, поток отказов уже не будет пуассоновским. Действительно, интенсивность его будет зависеть не просто от времени t, протекшего с начала всего процесса, а и от времени , протекшего со случайного момента включения именно данного элемента; значит, поток событий имеет последействие и пуассоновским не является.

Если же на протяжении всего исследуемого процесса данный элемент не заменяется и может отказать не более одного раза, то при описании процесса, зависящего от его функционирования, можно пользоваться схемой марковского случайного процесса, но при переменной, а не постоянной интенсивности потока отказов.

Если неэкспоненциальный закон надежности сравнительно мало отличается от экспоненциального, то можно, в целях упрощения, приближенно заменить его экспоненциальным (рис. 7.12). Параметр этого закона выбирается так, чтобы сохранить неизменным математическое ожидание времени безотказной работы, равное, как мы знаем, площади, ограниченной кривой и осями координат. Для этого нужно положить параметр показательного закона равным

где — площадь, ограниченная кривой надежности

Таким образом, если мы хотим характеризовать надежность элемента некоторой средней интенсивностью отказов, нужно в качестве этой интенсивности взять величину, обратную среднему времени безотказной работы элемента.

Выше мы определяли величину t как площадь, ограниченную кривой Однако, если требуется знать только среднее время безотказной работы элемента, проще найти его непосредственно по статистическому материалу как среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Т — времени работы элемента до его отказа. Такой способ может быть применен и в случае, когда число опытов невелико и не позволяет достаточно точно построить кривую

Рис. 7.13

Рис. 7.14

Пример 1. Надежность элемента убывает со временем по линейному закону (рис. 7.13). Найти интенсивность отказов и среднее время безотказной работы элемента

Решение. По формуле (3.4) на участке ) имеем:

Согласно заданному закону надежности 4

График функции показан на рис. 7 14. При Среднее время безотказной работы равно площади, ограниченной кривой и осями координат (см. рис. 7.13):

Пример 2. Интенсивность отказов элемента меняется по закону, представленному на рис. 7 15 Найти закон надежности

Решение. На участке (0,1)

По формуле (3.6)

Вычислим на участке . В общей формуле (3.6) разобьем промежуток интегрирования на два: от 0 до 1 и от 1 до t:

Рис. 7.15

Рис. 7.16

График закона надежности показан на рис. 7.16. Заштрихованная площадь изображает среднее время безотказной работы:

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Второй интеграл здесь равен

Что касается первого, то он вычислен приближенно (численно)

откуда

Пример 3. Плотность распределения времени безотказной работы элемента постоянна на участке и равна нулю вне этого участка (рис. 7.17) Найти интенсивность отказов

Решение. Имеем:

где

откуда

график интенсивности отказов показан на рис. 7.18: при .