2. ЕДИНИЧНЫЙ ЖРЕБИЙ

Основным элементом, из совокупности которых складывается монтекарловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления, например: один «обстрел» цели, один «день работы» транспорта, одна «эпидемия» и т. п.

Реализация представляет собой как бы один случай осуществления моделируемого случайного явления (процесса) со всеми присущими ему случайностями. Она разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль играет собственно «розыгрыш» или «бросание жребия». Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, ее влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия.

Предположим, что в ходе моделируемого процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит, и результат) зависит от того, появилось ли на данном этапе событие А или не появилось? Например: произошло ли попадание в цель? Обнаружен ли некоторый объект? Исправна ли аппаратура? Появилась ли заявка на обслуживание? и т. д.

Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: появилось событие А или не появилось? Для этого нужно привести в действие некоторый случайный механизм розыгрыша (скажем, бросить игральную кость, или несколько монет, или выбрать число из таблицы случайных чисел) и условиться о том, какой результат жребия означает появление, а какой — непоявление события А. Ниже мы увидим, что розыгрыш всегда может быть организован так, чтобы событие А имело любую наперед заданную вероятность.

Кроме событий, появляющихся случайным образом, на ход и исход операции могут также влиять разные случайные величины (на пример, время обслуживания заявки каналом СМО; координаты точки попадания снаряда; время, в течение которого выполняется рейс автомашины; число вышедших из строя узлов и т. д.). С помощью жребия можно разыграть значение любой случайной величины или совокупность значений нескольких случайных величин.

Условимся называть единичным жребием любой элементарный опыт, в котором решается один из вопросов:

1. Произошло или не произошло событие ?

2. Какое из возможных событий произошло?

3. Какое значение приняла случайная величина X?

4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин

Каждая реализация случайного явления методом Монте-Карло состоит из цепочки единичных жребиев, перемежающихся обычными расчетами. Расчетами учитывается влияние исхода единичного жребия на ход операции (в частности, на условия, в которых будет осуществляться следующий единичный жребий).

Рассмотрим способы организации всех разновидностей единичного жребия. Как уже было сказано выше, при любой организации единичного жребия должен быть пущен в ход какой-то механизм случайного выбора (бросание монет, костей, вынимание жетона из вращающегося барабана, числа из набора чисел, и т. д.). Такие механизмы могут быть самыми разнообразными, однако любой из них может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну единственную задачу: получить случайную величину, распределенную с постоянной плотностью от 0 до 1. Условимся для краткости называть такую случайную величину «случайное число от 0 до 1» и обозначать R (от английского random — случайный).

Покажем, что любая задача единичного жребия может быть решена с помощью стандартного механизма, дающего число

1. Появилось или нет событие А?

Пусть вероятность события равна :

Выберем с помощью стандартного механизма случайное число R и будем считать, что если оно меньше , событие А произошло, если больше — не произошло.

Действительно, если R — случайное число от 0 до 1, то

где

2. Какое из нескольких возможных событий появилось?

- Пусть имеется полная группа несовместных событий:

с вероятностями

Рис. 8.2

Так как события несовместны и образуют полную группу, то

Разделим весь интервал от 0 до 1 на k участков длиной (рис. 8.2). Если случайное число R, выданное стандартным механизмом, попало, например, на участок это означает, что появилось событие А3.

3. Какое значение приняла случайная величина?

Пусть нам требуется «разыграть» значение случайной величины X, имеющей известный закон распределения. Случай, когда величина X дискретна (т. е. имеет отдельные значения с вероятностями ) рассматривать не будем, так как он сводится к предыдущему пункту 2. Действительно, если обозначить , событие, состоящее в том, что величина X приняла значение та розыгрыш значения случайной величины X сводится к решению вопроса: какое из событий появилось?

Рис. 8.3

Рассмотрим случай, когда случайная величина X непрерывна и имеет заданную непрерывную функцию распределения F(x) (рис. 8.3).

Докажем следующее утверждение: если взять на оси ординат случайное число R (от ) и найти то значение X, при котором (см. стрелки на рис. 8.3), то полученная случайная величина X будет иметь функцию распределения F{x).

Действительно, возьмем случайную величину X и найдем ее функцию распределения, т. е. вероятность

Из рис. 8.3 видно, что для того чтобы выполнялось неравенство величина R должна принять значение, меньшее, чем

Но случайное число R имеет постоянную плотность распределения равную 1 на отрезке (0, 1); значит,

что и требовалось доказать.

Таким образом, розыгрыш значения случайной величины X с заданной функцией распределения сводится к следующей процедуре.

Получить случайное число R от 0 до 1 и в качестве значения X взять:

где — функция, обратная по отношению к

4. Какую совокупность значений примет система случайных величин?

Пусть имеется система случайных величин:

с совместной плотностью распределения

Если случайные величины независимы, то

и розыгрыш совокупности значений системы (2.2) сводится к тому, чтобы разыграть каждую из них в отдельности, т. е. организовать единичных жребиев типа, описанного в п. 3.

Если случайные величины (2.2) зависимы, то

где каждая последующая плотность распределения берется условная, при условии, что предыдущие случайные величины приняли определенные значения.

Рис. 8.4

При розыгрыше последовательности значений случайных величин (2.2) получается сначала значение случайной величины это значение берется в качестве аргумента в условной плотности разыгрывается значение случайной величины оба значения берутся в качестве аргументов в условной плотности и т. д.

Рассмотрим несколько примеров на организацию единичного жребия.

Пример 1. Летательный аппарат, совершающий полет над территорией противника, после стрельбы по нему может оказаться в одном из следующих состояний:

— невредим, продолжает полет;

— поврежден, продолжает полет;

— совершил вынужденную посадку;

Вероятности этих четырех событий заданы:

Построить процедуру единичного жребия для розыгрыша результата обстрела

Решение. Дедим участок (0, 1) на четыре части, как показано на рис. 8.4. При попадании случайного числа R на участок от 0 до 0,4 считать, что произошло событие на участок от 0,4 до 0,5 — событие и т. д.

Пример 2 Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью:

Построить процедуру единичного жребия для получения значения X.

Решение. По заданной плотности находим функцию распределения:

График функции дан на рис 8.5 Графически значение случайной величины X можно разыграть так: взять случайное число от 0 до 1 на оси ординат и найти соответствующее ему значение абсциссы X (см. стрелки на

Это же можно сделать не графически, а расчетом, если написать:

и решить это уравнение относительно X (т. е. найти обратную по отношению к F функцию). Имеем:

откуда

Рис. 8.5

Рис. 8.6

Формулу (2.4) можно упростить; вспомним, что если R — случайное число от 0 до 1, то (1 — R) — также случайное число от 0 до 1; поэтому вместо (2.4) можно взять

Таким образом, процедура розыгрыша сводится к следующему: взять случайное число от 0 до 1, прологарифмировать его при натуральном основании, изменить знак и разделить на К.

Пример 3. Построить процедуру розыгрыша значения случайной величины X, плотность распределения которой

(рис. 8.6).

Решение. Находим функцию распределения:

График функции распределения дан на рис. 8.7. Там же показана процедура розыгрыша значения случайной величины X Аналитически это выражается так:

откуда обратная функция

Таким образом, для розыгрыша значения случайной величины X с плотностью (2.6) нужно: взять случайное число от 0 до 1, удвоить его, вычесть единицу и от результата взять арксинус.

Заметим, что в рассмотренных нами примерах 2 и 3 функция распределения F случайной величины X легко допускала получение в явном виде обратной функции на практике это далеко не всегда бывает так.

Рис. 8.7

Рис. 8.8

Если явного выражения для обратной функции получить не удается, можно, как показано на рис. 8.3, определить эту обратную функцию по графику; если же расчет производится не вручную, а на ЭЦВМ, можно воспользоваться приемом, предложенным Н. П. Бусленко [15]; он состоит в том, что функция распределения заменяется функцией составленной из отрезков прямых (рис. 8.8); это можно сделать с любой заданной степенью точности. На каждом из таких линейных участков обратная функция находится без труда.

Рис. 8.9

Рис. 8.10

Пример 4. Имеется система зависимых случайных величин: Случайная величина распределена по закону прямоугольного треугольника на участке от 0 до 1 (рис. 8.9):

Случайная величина распределена с постоянной плотностью на участке длиной 2, с центром в точке где — значение, принятое случайной величиной (рис 8.10) Организовать процедуру единичного жребия для розыгрыша пары значений случайных величин

Решение. Разыграем сначала значение величины для этого построим ее функцию распределения:

(рис. 8.11). Величину получим как обратную функцию по отношению к (2.7) от случайного числа R:

После того, как разыграно значение оно уже не случайно; обозначим его . При известном значении строим условную функцию распределения случайной величины (рис. 8.12). Выражение этой функции распределения будет:

Рис. 8.11

Рис. 8.12

Возьмем новое случайное число R от 0 до 1 и найдем от него функцию, обратную (2.9):

Таким образом, процедура розыгрыша сводится к следующему: берется случайное число R от 0 до 1 и из него извлекается корень; полученное значение у R есть разыгранное значение первой случайной величины Далее берется еще одно случайное число R от 0 до 1, удваивается, к нему прибавляется ранее полученное и вычитается единица; получается разыгранное значение второй случайной величины