Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5. ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМРассмотрим сначала простейшую из всех возможных СМО с ожиданием — одноканальную систему
Рис. 5.4 Предположим, сначала, что количество мест в очереди ограничено числом Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
Граф состояний СМО показан на рис. 5.4. Интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, все равны X, а справа налево — Изображенная на рис. 5.4 схема представляет собой схему гибели и размножения. Пользуясь общим решением, данным для схемы гибели и размножения в § 8 гл. 4, напишем выражения предельных вероятностей состояний:
Вводя обозначение
Заметим, что в знаменателе последней формулы (5.2) стоит геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем
Таким образом, формулы (5.2) окончательно примут вид;
Обратим внимание на то, что формула (5.3) справедлива только при Определим характеристики СМО: вероятность отказа Ротк, относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все
Находим относительную пропускную способность:
Абсолютная пропускная способность:
Найдем среднее число
С вероятностью
Вынесем в этом выражении
Выведем формулу для суммы, стоящей в скобках (этой формулой мы будем часто пользоваться в дальнейшем). Очевидно, рассматриваемая сумма представляет собой не что иное, как производную по
а для этого выражения мы можем воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии:
Продифференцируем (5.9) по
Итак, выражение для суммы, стоящей в скобках в правой части (5.8), найдено:
Подставляя его в (5.8), получим:
Учитывая выражение для
или, окончательно,
Таким образом, мы вывели выражение для среднего числа заявок, ожидающих обслуживания в очереди. Выведем теперь формулу для среднего числа k заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся под обслуживанием). Будем решать задачу следующим образом: рассмотрим общее число заявок К, связанных с системой, как сумму двух случайных величин: числа заявок, стоящих в очереди, и числа заявок, находящихся под обслуживанием:
где По теореме сложения математических ожиданий
где Величину
Значение 1 она принимает, если канал занят; вероятность этого равна
Отсюда находим математическое ожидание числа заявок, находящихся под обслуживанием:
Таким образом, среднее число заявок, связанных с СМО, будет
где величина Выведем выражение еще для одной существенной характеристики СМО с ожиданием: среднего времени ожидания заявки в очереди. Обозначим его Поэтому среднее время ожидания будет:
Подставляя сюда выражения для
Преобразуем сумму в скобках, пользуясь формулой (5.10):
или, выражая
Сравнивая это выражение с формулой (5.11), замечаем, что
т. е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок. Выведем еще формулу для среднего времени пребывания заявки в системе. Обозначим ТСИСТ случайную величину — время пребывания заявки в СМО. Эта случайная величина складывается из двух слагаемых (тоже случайных):
где По теореме сложения математических ожиданий:
но, в наших обозначениях,
Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой). Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность — вероятность отказа; — относительную и абсолютную пропускную способности СМО; — среднее число машин, ожидающих заправки; — среднее число машин, находящихся на АЗС (включая и обслуживаемую); — среднее время ожидания машины в очереди; — среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание). Решение. Находим приведенную интенсивность потока заявок:
По формулам (5.4):
Вероятность отказа Ротн Относительная пропускная способность СМО
т. е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56. Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием
получаем среднее число машин, связанных с АЗС:
Среднее время ожидания машины в очереди, по формуле (5.14) равно
Прибавляя к этой величине
До сих пор мы рассматривали работу одноканальной СМО с ожиданием при ограниченном числе Теперь снимем это ограничение, т. е. устремим Попытаемся получить вероятности состояний СМО с неограниченной очередью путем предельного перехода (при Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (5.2) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится только, когда прогрессия бесконечно убывающая, т. е. при
Рис. 5.5 Предположим, что
т. е. что предельный режим существует. Устремим в формулах (5.4)
При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому
Среднее число заявок в системе по формуле (5.12) при
Среднее время ожидания
или, в другой форме:
Среднее время пребывания заявки в СМО равно среднему времени ожидания плюс среднее время обслуживания
Пример 2. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью — среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его); — среднее время ожидания состава в парке прибытия и на внешних путях; — среднее время нахождения состава на сортировочной станции (включая ожидание и обслуживание); — вероятность того, что прибывший состав займет место на виешних путях Решение. В нашем случае Среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его), найдем по формуле (5.17):
Среднее число составов, ожидающих очереди на внешних путях, подсчитаем так: с вероятностью Среднее число составов, ожидающих вне парка, будет:
Формулу для бесконечной суммы в скобках получаем предельным переходом (при
Отсюда
Подставляя сюда
Вероятность того, что прибывающий состав займет место на внешних путях, определяется еще проще: она равна вероятности того, что длина очереди будет не меньше трех, т. е.
Среднее время ожидания в парке прибытия определяем, рассматривая различные гипотезы о числе составов, находящихся в системе:
Для
Что же касается среднего времени ожидания на внешних путях, то оно равно
т. е. для наших численных данных,
Среднее время пребывания состава на сортировочной станции (считая ожидание и обслуживание) будет равно:
|
1 |
Оглавление
|