7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ

Пусть имеется физическая система S с дискретными состояниями:

в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Граф состояний показан на рис. 4.32.

Рис. 4.32

Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, постоянны:

другими словами, все потоки событий — простейшие (стационарные пуассоновские) потоки.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т. е. функций:

при любом t дающих в сумме единицу:

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с системой S при Будут ли функции стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или «финальными») вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение. Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Рис. 4.33

Рис. 4.34

На рис. 4.33 показан граф состояний, удовлетворяющий поставленному условию: из любого состояния система может рано или поздно перейти в любое другое. Напротив, для системы, граф состояний которой показан на рис. 4.34, условие не выполнено. Очевидно, что если начальное состояние такой системы то, например, состояние при может быть достигнуто, а если начальное состояние — не может.

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами что и сами вероятности состояний, разумея подними на этот раз не переменные величины (функций времени), а постоянные числа.

Очевидно, предельные вероятности состояний, так же как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности? Она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Например, если у системы S три возможных состояния: причем их предельные вероятности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к установившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии три десятых — в состоянии и половину времени в состоянии Возникает вопрос: как вычислить предельные вероятности состояний

Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными нулю.

Действительно, в предельном (установившемся) режиме все вероятности состояний постоянны, значит, их производные равны нулю.

Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей состояний положить равными нулю, то система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений. Совместно с условием

(так называемым «нормировочным условием») эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности

Пример 1. Физическая система 5 имеет возможные состояния: размеченный граф которых дан на рис. 4.35 (у каждой стрелки поставлено численное значение соответствующей интенсивности). Вычислить предельные вероятности состояний:

Решение. Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Полагая левые части равными нулю, получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:

Уравнения (7.4) — так называемые однородные уравнения (без свободного члена). Как известно из алгебры, эти уравнения определяют величины только с точностью до постоянного множителя. К счастью, у нас есть нормировочное условие:

которое, совместно о уравнениями (7.4), дает возможность найти все неизвестные вероятности.

Рис. 4.35

Рис. 4.36

Рис. 4.37

Действительно, выразим из (7.4) все неизвестные вероятности через одиу из них, например, через Из первого уравнения:

Подставляя во второе уравнение, получим:

Четвертое уравнение дает:

Подставляя все эти выражения вместо в нормировочное условие (7.5), получим

Отсюда

Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они равиы:

Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии в среднем одну двадцать четвертую часть времени, в состоянии — половину времени, в состоянии — пять двадцать четвертых и в состоянии — одну четверть времени.

Заметим, что решая эту задачу, мы совсем не пользовались одним из уравнений (7 4) — третьим Нетрудно убедиться, что оно является следствием трех остальных: складывая все четыре уравнения, мы получим тождественный нуль. С равным успехом, решая систему, мы могли бы отбросить любое из четырех уравнений (7.4).

Примененный нами способ составления алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний сводился к следующему: сперва написать дифференциальные уравнения, а затем положить в них левые части равными нулю. Однако можио записать алгебраические уравнения для предельных вероятностей и непосредственно, не проходя через этап дифференциальных. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 2. Граф состояний системы показан на рис. 4.36. Написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

Решение. Не записывая дифференциальных уравнений, прямо пишем соответствующие правые части и приравниваем их или, чтобы не иметь дела с отрицательными членами, сразу переносим их в другую часть, меняя знак!

Чтобы в дальнейшем сразу же писать такие уравнения, полезно Запомнить следующее мнемоническое правило: «что втекает, то и вытекает», то есть для каждого состояния сумма членов, соответствующих входящим стрелкам, равна сумме членов, соответствующих выходящим, каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.

В дальнейшем мы во всех случаях будем пользоваться именно этим кратчайшим способом записи уравнений для предельных вероятностей.

Пример 3. Написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний системы S, граф состояний которой дан на рис. 4.37. Решить эти уравнения.

Решение. Пишем алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний;

Нормировочное условие!

Выразим с помощью первых двух уравнений через

Подставим их в нормировочное условие (7.9):

откуда

Далее, из (7 10) получим