14. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В этом параграфе мы коснемся очень важного в теории статистических решений вопроса о том, как нам могут помочь в принятии решения эксперименты, предпринятые с целью выяснения действительной обстановки? Этот вопрос является центральным в теории, как показывает само название: ведь слово «статистический» как раз и употребляется, когда речь идет о выводах из экспериментов, об их планировании и обработке.

Соответствующую теорию можно развивать как исходя из известных вероятностей состояний природы, так и из критериев, подобных критерию Вальда; мы будем здесь рассматривать теорию, исходящую из известных вероятностей состояний природы, как более простую.

Рассмотрим следующий вопрос. Нам предстоит предпринять некоторую операцию в недостаточно выясненных условиях. Имеет ли смысл для уточнения условий в нашей неопределенной ситуации предпринимать некоторый эксперимент ? Естественно, этот вопрос возникает только тогда, когда затраты на эксперимент существенны и сравнимы с тем увеличением выигрыша, которое мы можем получить, узнав обстановку более точно. Если же затраты на эксперимент пренебрежимо малы, ответ на этот вопрос всегда положителен.

Рассмотрим сначала случай «идеального» эксперимента приводящего к совершенно точному знанию того состояния природы которое имеет место в данной ситуации.

Пусть задана матрица выигрышей , кроме того, известны вероятности различных условий . Пусть затраты на проведение эксперимента равны С. Сравним наш средний выигрыш без проведения эксперимента и средний выигрыш с проведением этого эксперимента.

Как мы видели в § 13, если не проводить дополнительно никакого эксперимента, то нужно в качестве решения выбрать ту стратегию для которой достигается максимальный средний выигрыш:

Это и будет наш выигрыш без проведения эксперимента

Теперь предположим, что мы произвели эксперимент и выяснили, какое из состояний является действительным состоянием природы. Если это оказалось , то мы должны применять ту стратегию для которой достигается

и наш выигрыш будет равен если действительное состояние природы оказалось наш выигрыш будет и т. д. Вообще, при действительном состоянии природы наш выигрыш будет равен максимальному выигрышу в столбце:

нам нужно заранее решить, будем ли мы производить эксперимент или нет; нам неизвестно, какое из состояний на самом деле имеет место и каков будет наш выигрыш Поэтому осредним этот выигрыш с весами, равными вероятностям

С учетом стоимости эксперимента (которую нужно вычесть из выигрыша) наш средний выигрыш с применением идеального эксперимента равняется

Итак, мы должны проводить эксперимент, если величина (14.2) больше, чем (14.1); если же, наоборот, величина (14.1) больше, то эксперимент нам не нужен.

Можно несколько видоизменить это правило, сделав его более простым. Мы видели, что эксперимент нам полезен (т. е. «по средствам»), если

Перенесем С в левую часть, а «максимум» из левой части в правую, переменив знак перед суммой и заменяя «максимум» на «минимум»; условие (14.3) перепишется в виде:

или, короче

Но — есть не что иное, как риск , а сумма в правой части — средний ожидаемый риск:

Поэтому правило решения о выполнении эксперимента приобретает следующий вид.

Эксперимент нужно проводить, если затраты на его осуществление меньше минимального среднего риска:

В противном случае следует воздержаться от эксперимента, и применить ту стратегию А, для которой достигается этот минимум среднего риска.

Пример 1. Рассматривается игра с природой 3X4, условия которой приведены в табл. 14.1 (такую матрицу мы уже рассматривали в § 13).

Таблица 14.1

Вероятности состояний природы , равны соответственно:

Таблица 14.2

Определить, является ли целесообразным «идеальный» эксперимент, стоимость которого (в тех же единицах, в которых выражен выигрыш) равна 2.

Решение. Переходим от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 14.2). В правом дополнительном столбце проставлены значения среднего риска. Минимальное из этих значений равно 1,6; следовательно, проведение эксперимента со стоимостью 2 единицы нецелесообразно.

Выше мы рассмотрели случай «идеального» эксперимента S, в результате которого обстановка полностью выясняется.

Теперь рассмотрим случай не идеального эксперимента который не приводит к выяснению в точности состояния природы , а лишь дает какие-то косвенные свидетельства в пользу тех или других состояний. В наиболее общем виде мы можем предположить, что эксперимент приводит к появлению одного из k несовместных событий

причем вероятности этих событий (исходов эксперимента) зависят от условий, в которых он проводится: или Обозначим условную вероятность появления события В, в условиях через

и будем считать, что все эти условные вероятности нам известны.

После осуществления эксперимента давшего исход нам придется пересмотреть вероятности условий: состояния природы будут характеризоваться не прежними (априорными) вероятностями

а новыми, «апостериорными» вероятностями состояний:

т. е. условными вероятностями состояний при условии, что эксперимент дал результат Эти апостериорные вероятности подсчитываются по известной формуле Бейеса:

(с этим как раз и связано то, что соответствующий подход к принятию решения в ситуации неопределенности называется бейесовским).

Поскольку априорные вероятности состояний природы заменяются новыми, апостериорными то, значит, и оптимальная стратегия А в общем случае заменится новой оптимальной стратегией вычисленной с учетом апостериорных вероятностей (при условии события ).

Пример 2. В условиях примера 1 с априорными вероятностями условий

производится эксперимент служащий для уточнения обстановки. Этот эксперимент, вообще говоря, может иметь три возможных исхода:

Условные вероятности этих исходов для разных состояний природы приведены в матрице условных вероятностей (табл 14.3).

Таблица 14.3

Известно, что в эксперименте имел место исход Вычислить апостериорные вероятности . Указать новую оптимальную стратегию Решение. По формуле (14 6) имеем;

Таблица 14.4

Вычислим средние выигрыши при каждой стратегии с учетом найденных апостериорных вероятностей (табл. 14.4). В последней строке таблицы помещены апостериорные вероятности, в правом, дополнительном столбце — средние выигрыши при новых значениях вероятностей состояний, вычисленные по формуле

Значения даны в нижней строке таблицы.

Таким образом, с учетом результата опыта оптимальной стратегией будет уже не а А

Конечно, для того чтобы заранее решить, стоит ли нам проводить эксперимент или нет, нужно заранее произвести подобные расчеты не только для одного исхода но и для всех остальных. Продолжим рассмотрение примеров.

Пример 3, В условиях примеров 1 и 2 выработать правило решения, которое указывало бы, при каком исходе эксперимента какую стратегию выбирать. Выяснить, насколько средний выигрыш при выполнении эксперимента больше среднего выигрыша без выполнения этого эксперимента.

Решение. Вычислим остальные апостериорные вероятности всех состояний природы при условии, что эксперимент дал исходы соответственно Вычисления будем производить по той же формуле (14.6)

Сведем все новые (апостериорные) вероятности состояний природы при каждом из исходов в табл. 14.5.

Таблица 14.5

Таблица 14.6

Таблица 14.7

Теперь для каждого из событий (для мы уже это сделали) найдем средний выигрыш, осредняя его с весами, равными новым, апостериорным вероятностям Оптимальную стратегию отмечаем звездочкой. Результаты расчетов для событий соответственно приводятся в табл. 14.6 и 14.7. В нижней строке каждой таблицы приведены апостериорные вероятности состояний, а в правом столбце — средние выигрыши.

Теперь, на основе габл 14.4, 14.6, и 14.7 мы можем сформулировать правило решения:

Если эксперимент дал результат — применять стратегию если он дал не (или ) - применять стратегию При этом, если эксперимент дал исход наш средний выигрыш будет равен 5,20; если а если то 5,20.

Среднее значение среднего выигрыша при данном правиле решения может быть вычислено так: найдем полную вероятность события В

Аналогично находим вероятности событий

Полный средний выигрыш при данном правиле решения будет:

Сравним этот выигрыш с тем, который мы получили бы при отсутствии эксперимента (см. пример 1 § 13) Там мы получили а Таким образом, выполнение эксперимента увеличило наш средний выигрыш на Отсюда следует вывод: если стоимость эксперимента меньше чем 0,145, то выполнение его целесообразно, если же она превышает 0,145 — нецелесообразно

Расчеты целесообразности проведения эксперимента, разумеется, могут производиться исходя не из среднего выигрыша, а из среднего риска; при этом будут получаться те же самые результаты.

Аналогичным образом можно заранее подсчитать, выгодно ли нам несколько раз провести эксперимент Щ. Действительно, пусть, скажем, есть возможность произвести два независимых повторения эксперимента 8, характеризующегося условными вероятностями исходов: Р при условии данного состояния природы Это равносильно проведению одного сложного эксперимента с исходами где обозначено событие, состоящее в том, что первый эксперимент дал а второй — Условные вероятности этих исходов по правилу умножения вероятностей независимых событий будут: . Таким образом задача сводится к ранее рассмотренной, только в эксперименте будет уже не k возможных исходов,

Так обстоит дело, когда повторное проведение экспериментов планируется заранее. Однако, когда речь идет о проведении ряда испытаний для уточнения сведений о действительных условиях в рассматриваемой ситуации, выгоднее не назначать число испытаний заранее, а решать после каждого испытания — стоит ли нам проводить следующее. Оказывается, что такой метод в ряде случаев дает заметную экономию в средствах, затрачиваемых на эксперимент.