§ 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков

До сих пор мы рассматривали функционалы вида

зависящие от и их первых производных. В ряде задач, например в теории упругости, встречаются функционалы, для которых подынтегральное выражение содержит производные от искомой функции не только первого, но и более высоких порядков. Изложенные выше методы нахождения экстремумов функционалов (в рамках необходимых условий) могут быть перенесены без существенных изменений на этот более общий случай. Для простоты записи мы ограничимся случаем одной неизвестной функции.

Итак, рассмотрим функционал вида

и поставим для него следующую задачу.

Среди всех кривых принадлежащих пространству на отрезке (см. § 2) и удовлетворяющих условиям

найти ту, вдоль которой интеграл (1) принимает экстремальное значение.

При решении этой задачи будем исходить из общей теоремы, установленной в § 3 гл. для того чтобы функционал достигал экстремума, необходимо, чтобы его вариация обращалась в нуль.

Вычислим вариацию функционала (1), понимая под вариацией функционала (1) главную часть его приращения, линейную относительно (т. е. вариации и ее производных

Для того чтобы провариированная функция тоже удовлетворяла граничным условиям (2), нужно, очевидно, предположить, что

Имеем

где многоточие означает совокупность членов, имеющих порядок выше первого относительно

Следовательно, выражение

и есть вариация функционала (1). Таким образом, для экстремума необходимо

Отсюда с помощью интегрирования по частям, используя граничные условия (3) для ), получаем

для любой функции имеющей непрерывных производных и удовлетворяющей условиям (3).

В силу леммы 1 § 3 отсюда следует, что

Уравнение (6) называется уравнением Эйлера — Пуассона. Оно представляет собой дифференциальное уравнение порядка и, следовательно, его общее решение содержит произвольных постоянных. Значения этих постоянных могут быть определены из краевых условий (2).

Замечание. Приведенный выше вывод уравнения Эйлера — Пуассона не вполне строг, так как переход от (4) к (5) с помощью интегрирования по частям предполагает существование производных

Можно, однако, несколько усложнив рассуждения, доказать, что из (4) вытекает уравнение (6) и без этих дополнительных предположений (при этом само существование производных (7) также доказывается, с леммой 2 § 3).