§ 3. Дифференциал функционала Необходимое условие экстремума

1. В этом параграфе мы введем понятие дифференциала функционала, аналогичное понятию дифференциала функции переменных и применим его к отысканию экстремумов функционалов. Мы начнем с некоторых вспомогательных фактов и определений.

Определение. Пусть R — линейное нормированное пространство и пусть каждому элементу h из R поставлено в соответствие число , т. е. задан функционал. Этот функционал называется линейным, если он

1) непрерывен,

2) для любых принадлежащих R, удовлетворяет условию

Укажем некоторые примеры линейных функционалов в пространстве С.

1. Положим

Это выражение будет, очевидно, линейным функционалом.

2. Более общим примером линейного функционала в С является

где — фиксированная функция.

3. Поставим в соответствие каждой функции ее значение в фиксированной точке т. е. зададим функционал равенством

где — фиксированная точка. Это тоже будет линейный функционал. (Проверьте это!)

Как уже было сказано выше, выражение есть линейный функционал. Предположим, что этот функционал равен нулю, т. е. для всех функций принадлежащих некоторому классу. Что можно сказать о функции Ответ на этот важный для дальнейшего вопрос дает, следующая Лемма 1. Если — непрерывная функция

для любой непрерывной функции имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей условию то

Доказательство. Пусть в некоторой точке с , например а тогда найдется интервал содержащийся в в котором . Положим на интервале вне этого интервала. очевидно, удовлетворяет условиям леммы. В то же время

так как под интегралом стоит положительная непрерывная функция. Полученное противоречие доказывает лемму.

Рассмотрим теперь линейный функционал

определенный в пространстве Покажем, что если

для каждой функции из такой, что то

Действительно, положим тогда

Выберем постоянную с так, что

и покажем, что

для любой непрерывной Всякую непрерывную функцию можно представить в виде где

Получаем

Первое слагаемое справа равно нулю, так как X есть производная от функции удовлетворяющей всем условиям, наложенным на а второе равно нулю в силу выбора с. Таким образом,

для любой непрерывной функции Положив

получаем

откуда есть постоянная.

Рассмотрим в линейный функционал более общего вида:

(Читателю предоставляется проверить, что этот функционал линейный.) Такие функционалы нам понадобятся в дальнейшем. Докажем следующую лемму:

Лемма 2. Если

для каждой функции из такой, что то дифференцируема и

Действительно, положив

получаем с помощью интегрирования по частям, что

т. е. равенство (1) можно переписать в виде

но отсюда следует (см. выше), что

откуда в силу (2)

Лемма доказана. Подчеркнем, что здесь дифференцируемость функции заранее не предполагалась.

2. Перейдем теперь к определению понятия дифференциала функционала.

Рассмотрим некоторый функционал и его приращение

отвечающее приращению h «независимой переменной» у. Если у фиксировано, то представляет собой функционал (вообще говоря, нелинейный) от

Мы назовем дифференциалом, или вариацией, функционала J главную линейную часть приращения функционала J, т. е. линейный функционал отличающийся от на бесконечно малую величину порядка выше первого по отношению к Таким образом,

где когда

Легко видеть, что дифференциал функционала (если он вообще существует) определяется однозначно. Сделаем предварительно следующее замечание: если — линейный функционал и при то Действительно, пусть . Положим Имеем но

Допустим теперь, что дифференциал функционала определяется не единственным образом, т. е. пусть

и

где — линейные функционалы, а при Тогда

Следовательно, есть бесконечно малая порядка выше первого относительно А. Но так как линейный функционал, то он в силу сделанного выше замечания нулю.

Воспользуемся понятием дифференциала (вариации) функционала для того, чтобы установить необходимые условия экстремума функционала.

Напомним сначала соответствующие понятия из анализа. Пусть — дифференцируемая функция переменных. Говорят, что имеет в точке экстремум, есди

имеет один и тот же знак для всех точек принадлежащих некоторой окрестности точки именно F имеет в данной точке минимум, если в данной окрестности, и максимум в случае .

Аналогично мы скажем, что функционал достигает экстремума при если сохраняет знак в некоторой окрестности кривой

Мы будем рассматривать функционалы, определенные на некотором множестве дифференцируемых, функций. Сами эти функции мы можем считать элементами пространства С или пространства . В соответствии с этими двумя возможностями мы будем говорить, что функционал достигает при слабого экстремума, если существует такое что сохраняет постоянный знак для всех тех у из для которых функционал определен и означает норму в пространстве и будем называть значение сильным экстремумом, если оно является экстремальным по отношению ко всем тем которые принадлежат области определения функционала и удовлетворяют условию (т. е. близки к в смысле нормы пространства С).

Ясно, что всякий сильный экстремум будет в то же время и слабым экстремумом.

Действительно, если то подавно поэтому если есть экстремум по отношению ко всем у таким, что в, то тем более будет экстремумом по отношению к тем у, для которых Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. слабый экстремум может сильным экстремумом и не быть. Нахождение слабого экстремума является, как правило, задачей более простой, чем нахождение сильного экстремума. Причина этого состоит в том, что, как было отмечено в конце предыдущего параграфа, функционалы, рассматриваемые обычно в вариационном исчислении, непрерывны в пространстве Поэтому в теории слабого экстремума можно пользоваться непрерывностью функционалов. В то же время эти функционалы, вообще говоря, не непрерывны по отношению к норме пространства С.

Теорема. Для того чтобы функционал при достигал экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал если он существует) обращался в нуль при т. е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай минимума. Если при достигает минимума, то это значит, что

для всех А, для которых , достаточно мала. Но, по определению вариации,

и при . Если , то при достаточно малых А знак выражения

определяется знаком первого (главного) члена. Но — линейный функционал, поэтому

и, следовательно, при выражение (4) может быть как положительным, так и отрицательным при сколь угодно малых А, т. е. экстремум в этом случае невозможен.

Замечание. В анализе, помимо условия рассматривается и другое необходимое условие экстремума, состоящее в том, что второй дифференциал функции должен быть неотрицателен. Рассмотрение аналогичного вопроса для функционалов мы отложим до гл. V.