§ 22. Исследование квадратичного функционала

В § 20 уже была показана важная роль второй вариации в задаче о нахождении экстремума функционала. В частности, там было установлено, что если кривая реализует минимум некоторого функционала, то вторая вариация этого функционала неотрицательна. Для функционала

вторая вариация представляет собой квадратичный функционал. Поэтому для дальнейшего изучения вариационной задачи (1) нам нужно предварительно исследовать свойства квадратичных функционалов, подобно тому, как исследование экстремумов функций нескольких переменных (в том числе нахождение достаточных

условий) опирается на изучение свойств квадратичных форм (второго дифференциала).

Итак, будем рассматривать квадратичный функционал

На множестве функций, удовлетворяющих условиям

В § 21 мы показали, что для неотрицательности такого квадратичного функционала необходимо (но не достаточно) условие

В этом параграфе мы найдем условия (необходимые и достаточные), при которых квадратичный функционал (2) будет положительно определен (т. е. строго положителен для всех допустимых ), кроме

Напишем для нашего квадратичного функционала уравнение Эйлера Получим

Это — линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнению (3) и граничным условиям

удовлетворяет, очевидно, функция Однако оно может, вообще говоря, иметь и другие решения, удовлетворяющие тем же граничным условиям.

Введем следующее важное

Определение. Точка х называется сопряженной с точкой , если уравнение (3) имеет решение, не равное нулю тож дественно, обращающееся в нуль при и при

Замечание. Если — некоторое ненулевое решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям то и где , будет таким же решением.

Мы можем поэтому для определенности наложить на некоторое условие нормировки, например то обязательно ). Это мы и будем делать в дальнейшем. Теорема 1. Если

и отрезок не содержит точек, сопряженных с а, то квадратичный функционал

положительно определен для всех таких, что

Доказательство. Мы докажем положительность функционала

если сможем привести его к виду

где — некоторое выражение, не равное нулю тождественно при Для этой цели добавим к выражению, стоящему под знаком интеграла (27), величину вида ), где — некоторая дифференцируемая функция. Так как

то от этого значение рассматриваемого квадратичного функционала не изменится. Постараемся теперь подобрать функцию так, чтобы выражение

стало полным квадратом. Это требование будет выполнено, если за взять какое-либо решение уравнения

Действительно, при этих условиях выражение (4) можно переписать в виде

Итак, если уравнение (5) имеет решение, определенное на всем отрезке то квадратичный функционал (2) может быть приведен к виду

и следовательно, он неотрицателен.

Если функция обращает этот функционал в нуль, то она очевидно является его экстремалью, т. е. решением уравнения (3).

Вместе с тем она должна удовлетворять условию откуда, положив и вспомнив, что получаем . Но, в силу теоремы единственности для дифференциальных уравнений решение (3), удовлетворяющее условиям есть тождественный нуль. Это означает, что функционал (6) — положительно определенный.

Остается показать, что при отсутствии на отрезке сопряженных с а точек уравнение (5) имеет решение, определенное на всем этом отрезке. Это уравнение представляет собой так называемое уравнение Риккати. Заменой переменных его можно свести к линейному уравнению второго порядка. Действительно, положив

где и — новая неизвестная функция, мы получим уравнение

т. е. уравнение Эйлера для функционала (2). Если на отрезке нет точек, сопряженных с а, то это уравнение имеет решение , не обращающееся в нуль на отрезке тогда существует и определенное на всем отрезке решение уравнения (5), определяемое формулой (7).

Итак, если отрезок не содержит точек, сопряженных с а, то функционал положительно определен. Теорема доказана. Приведение квадратичного функционала

к виду (6) представляет собой континуальный аналог приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Отсутствие на отрезке сопряженных точек — это аналог известных условий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. (Подробнее об этом будет сказано в § 26.)

Теорема 1 представляет собой, собственно говоря, реализацию той идеи Лежандра, о которой мы упоминали на стр. 102.

Покажем, что отсутствие на отрезке сопряженных точек не только достаточно, но и необходимо для положительной определенности функционала

Теорема 2. Если квадратичный функционал

где положительно определен для всех таких, что

то отрезок не содержит точек, сопряженных с а.

Идея доказательства состоит в следующем. Мы строим семейство положительно определенных квадратичных функционалов, зависящее от некоторого параметра t, которое при дает наш функционал (2), а при — простейший квадратичный функционал

для которого вообще не существует сопряженных точек. Затем мы доказываем, что при непрерывном изменении параметра t от 0 до 1 сопряженные точки на отрезке не могут возникнуть.

Для доказательства нам понадобится следующая

Лемма. Если функция удовлетворяет уравнению и граничным условиям

то для нее

Доказательство леммы непосредственно вытекает из равенства

которое получается интегрированием по частям с учетом (8).

Перейдем теперь к доказательству теоремы. Если функционал положительно определен, то и функционал

очевидно, положительно определен при всех Рассмотрим, далее, отвечающее функционалу (9) уравнение Эйлера

и пусть — решение этого уравнения такое, что Это решение представляет собой непрерывную функцию параметра t. При оно переходит в решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям , а при — в удовлетворяющее тем же начальным условиям решение уравнения , т. е. в функцию

Заметим, что если в некоторой точке то в этой точке Действительно, при каждом фиксированном t удовлетворяет уравнению (10), и если бы равенства выполнялись одновременно, то, в силу теоремы единственности для дифференциальных уравнений, было бы при всех это же невозможно, так как по условию при всех Допустим теперь, что на отрезке есть точка, сопряженная с а, т. е. что функция обращается в нуль в некоторой точке лежащей внутри отрезка

Рассмотрим совокупность всех точек удовлетворяющих условию Это некоторая кривая в плоскости Действительно, в каждой точке, в которой производная отлична от нуля и по теореме о неявных функциях, равенство определяет в окрестности каждой такой точки непрерывную функцию На этой кривой лежит, по предположению, точка Но такая кривая, начавшись в точке 1):

Рис. 7.

а) не может окончиться внутри прямоугольника , так как это противоречило бы непрерывной зависимости решения от параметра

б) не может пересечь отрезок так как тогда мы в силу леммы получили бы противоречие с положительной определенностью функционала (9) при всех

в) не может пересечь сторону так как тогда при некотором t мы получили бы, что одновременно;

г) не может пересечь сторону так как при уравнение сводится к

а соответствующим решением является функция , которая нигде, кроме точки в нуль не обращается;

д) не может пересечь сторону так как тогда при некотором t было бы в противоречие с предположением.

Но отсюда следует, что такой кривой вообще не существует. Наконец, точка не может совпадать и с иначе мы получили бы, в силу доказанной леммы, что для некоторой ненулевой функции, удовлетворяющей условию Но это противоречит положительной определенности нашего функционала. Теорема доказана.

Теми же самыми рассуждениями, которые мы провели при доказа тельстве теоремы 2, устанавливается следующий результат.

Теорема 2. Если квадратичный функционал

неотрицателен, то решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям не обращается в нуль ни в какой внутренней точке отрезка

Действительно, если функционал неотрицателен, то квадратичный функционал (9) положительно определен при всех t, кроме, может быть, Доказательство теоремы 2 при этом остается в силе, за исключением последнего абзаца (ссылка на лемму). Поэтому при условиях теоремы 2 равенство не исключается.

Объединив теоремы 1 и 2, мы можем сформулировать следующий окончательный результат.

Для того чтобы квадратичный функционал

был положительно определен для всех таких, что

необходимо и достаточно, чтобы отрезок не содержал точек, сопряженных с а.