§ 34. Принцип стационарного действия для полей. Законы сохранения

1. Выше уже указывалось, что принцип стационарного действия может быть применен к системам с бесконечным числом степеней свободы. В § 35 это было показано на примерах струны, мембраны и пластинки. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим применения принципа стационарного действия и теоремы Нетер к теории поля.

Состояние всякого поля характеризуется некоторой функцией координат и времени, называемой функцией поля. Эта функция может быть величиной различной природы — скаляром, вектором, тензором и т. д. В зависимости от этого различают скалярные, векторные, тензорные и т. д. поля. Если функция и имеет несколько компонент, то их обозначим

При выводе уравнений поля обычно, так же как мы делали это выше для струны или мембраны, вводится соответствующая функция Лагранжа, из которой и получаются уравнения поля.

В случае системы с конечным числом степеней свободы функция Лагранжа пишется обычно в виде суммы, взятой по всем материальным точкам, входящим в рассматриваемую систему. Для поля такая сумма заменяется, естественно, интегралом по пространственным переменным z от некоторой функции, называемой плотностью функции Лагранжа или, короче, лагранжианом

Интеграл от лагранжиана по всем четырем переменным, т. е.

представляет собой действие. Здесь интеграл берется по некоторой области четырехмерного пространства — времени.

Ниже, для придания большей симметрии формулам, мы будем вместо обозначений х, у, z и t пользоваться обозначениями интегрирование по этим переменным будем обозначать символом

Обычно всех физических теориях считают лагранжиан функцией от функций поля и их первых производных:

Принцип стационарного действия

приводит к уравнениям Эйлера

определяющим функции т. е. представляющим собой уравнения поля.

2. Законы сохранения для полей. Теорема Нетер, изложенная в предыдущем параграфе, дает общий способ вывода законов сохранения, т. е. построения таких величин, представляющих собой комбинации функций поля, которые не меняют со временем. Такие величины называются инвариантами поля.

Пусть интеграл

инвариантен относительно совокупности преобразований

зависящих от параметров Тогда согласно теореме Нетер имеют место соотношений вида

где

Из каждого такого соотношения может быть получен некоторый инвариант поля. Действительно, проинтегрируем равенство (6) по некоторому четырехмерному объему, ограниченному двумя плоскостями (т. е. отвечающим двум фиксированным моментам времени) и цилиндрической поверхностью Поскольку выражение (6) есть дивергенция, этот интеграл, взятый по четырехмерной области, можно преобразовать в интеграл, взятый по границе этой области. Получим

где — элемент площади поверхности, ограничивающей рассматриваемую четырехмерную область, нормаль к этой поверхности.

Считая в соответствии с обычными физическими представлениями, что на бесконечности поле достаточно быстро убывает, мы можем, положив отбросить в правой части (8) интеграл по боковой цилиндрической поверхности. При этом останется лишь интеграл по двум трехмерным плоскостям На этих плоскостях сводится к временной компоненте вектора а интегрирование по к интегрированию по пространственным координатам. Таким образом, из (8) получаем

т. е. величина

не зависит от времени. Итак, мы показали, что из инвариантности действия относительно совокупности преобразований (5) действительно вытекает наличие соответствующего числа инвариантов поля, представимых формулами (9). х

Рассмотрим конкретные законы сохранения, отвечающие тем преобразованиям переменных, которые фактически встречаются в физике. Обычно во всех физических теориях предполагается, что функционал, представляющий собой действие, инвариантен относительно параллельных переносов (по всем четырем осям) и относительно преобразований, образующих полную группу Лоренца.

Выясним, к каким законам сохранения приводит эта инвариантность.

Тензор энергии-импульса. Пусть лагранжиан

инвариантен относительно параллельных переносов, т. е. относительно преобразований

В этом случае имеем

и

Следовательно, соотношения (6), вытекающие из теоремы Нетер, в этом случае имеют вид

а соответствующие инварианты (9) поля записываются следующим образом:

Величина

называется тензором энергии-импульса, а не зависящий от времени интеграл

носит название вектора энергии-импульса. Его нулевая компонента есть энергия поля, а остальные три компоненты суть компоненты импульса.

Замечание. Если рассматриваемое поле скалярно, т. е. если и имеет лишь одну компоненту, то тензор энергии-импульса удовлетворяет, очевидно, условию симметрии

Если же и имеет несколько компонент, то полученное нами выражение (10) уже не будет, вообще говоря, симметричным тензором. Однако, его можно заменить симметричным тензором, отличающимся

от полученного нами выражения (10) лишь на величину, дающую при интегрировании по нуль. Так как в физические рассмотрения входит всегда не сам тензор энергии-импульса, а его интеграл по то такая замена всегда возможна.

Тензор момента количества движения. Как уже было сказано выше, функционал

для каждого поля, имеющего определенный физический смысл, должен быть инвариантен относительно преобразований Лоренца. Каждое из этих преобразований можно записать следующим образом:

где

— параметры, определяющие данное преобразование

Таким образом,

Двенадцать величин связаны соотношениями следовательно, среди них имеется лишь шесть независимых. За эти независимые параметры можно взять те для которых . В соответствии с этим равенство (13) преобразуем так:

где сумма берется по всем парам для которых и, как обычно,

Формулы (12) определяют преобразование независимых переменных Нужно еще указать, каким образом преобразуются функции поля . Если рассматриваемое поле скалярное, преобразования Лоренца никак не действуют на т. е. имеет место равенство

Следовательно, для скалярного поля

Перейдем от к функциям и в соответствии с формулами (4), (5) предыдущего параграфа. Получим

Преобразования (12) зависят от шести параметров. Следовательно, из инвариантности функционала относительно этих преобразований вытекает шесть равенств вида (6), где вместо индекса а нужно брать все шесть комбинаций индексов такие, что а вместо — их выражения (15) и (15). Мы получаем окончательно

Введем обозначение

Определим, далее, величины при положив

Выражения образуют тензор третьего ранга, антисимметричный по j и . Он называется тензором момента количества движения. Воспользовавшись полученным выше выражением (10) для тензора энергии-импульса, мы можем записать тензор момента количества движения следующим образом:

Закон сохранения момента количества движения состоит в том, что в соответствии со сказанным выше (стр. 184) интеграл

не зависит от времени, т. е. представляет собой инвариант поля.

Если рассматривается не скалярное, а какое-нибудь другое поле, например векторное, то преобразование Лоренца действует не только на координаты

но и на компоненты функции поля. В случае векторного поля

Следовательно, для векторного поля

и

Проведя выкладки, аналогичные проделанным выше для скалярного поля, получим для тензора момента количества движения векторного поля следующее выражение:

где — компоненты тензора энергии-импульса.