§ 37. Метод Ритца и метод ломаных

Как было сказано выше, основой так называемых прямых методов вариационного исчисления является построение минимизирующих последовательностей функций. Одним из наиболее распространенных прямых методов является метод Ритца, который состоит в следующем. ищется минимум функционала

заданного на каком-то многообразии, лежащем в некотором линейном нормированном пространстве Е.

Рассмотрим некоторую последовательность функций

из Е такую, что как сами функции, так и их линейные комбинации

являются допустимыми для функционала (1). Поставим задачу: при заданном выбрать коэффициенты так, чтобы значение

было возможно меньше. Это — задача о нахождении минимума функции от переменных (которыми являются т. е. несравненно более простая, чем нахождение минимума функционала (1). Таким образом, при каждом мы получим соответствующий минимум Ясно, что при увеличении этот минимум не может возрастать, т. е.

поскольку среди линейных комбинаций первых функций содержатся все линейные комбинации первых функций.

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях можно утверждать, что получающаяся таким образом последовательность функций — минимизирующая, т. е. что

есть минимум функционала (1).

Теорема. Если функционал (1) непрерывен, а система функций (2) - полная (т. е. линейные комбинации (3) этих функций образуют множество, всюду плотное в пространстве, на котором задан (1)), то

где — минимум функционала (1).

Доказательство. Пусть у — кривая, на которой реализуется минимум функционала (1), и пусть задано некоторое Так как функционал (1) предполагается непрерывным, то найдется такое что

как только Среди линейных комбинаций вида (3) найдется такая, обозначим ее что

Тогда согласно (5)

Если теперь — та линейная комбинация, на которой функция (4) при данном достигает минимума, то

откуда в силу произвольности получаем, что

Теорема доказана.

Эта теорема применима, например, в том случае, когда функционал вида

рассматривается на некотором множестве, лежащем в поскольку в этом пространстве функционал указанного вида непрерывен.

Замечание 1. Во многих задачах математической физики приходится рассматривать такие функционалы

в которых подынтегральное выражение квадратично относительно у и у. В этом случае уравнения, которые получаются для определения коэффициентов будут линейными, и следовательно, нахождение этих коэффициентов не представляет существенных трудностей.

Замечание 2. Быстрота сходимости метода Ритца для данной вариационной задачи зависит, очевидно, как от самой рассматриваемой задачи, так и от выбора функций

Следует подчеркнуть, что во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию совсем небольшого числа функций иногда даже меньше) для того, чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению.

Пользуясь геометрическим языком, основную идею метода Ритца можно пояснить следующим образом. Нам нужно найти минимум функционала рассматриваемого на некотором многообразии Ф, имеющем бесконечное число измерений. Мы заменяем это многообразие совокупностью линейных комбинаций первых функций из некоторой фиксированной последовательности т. е. многообразием не более чем измерений (полагая ), и ищем минимум нашего функционала на этом конечномерном многообразии, т. е., иначе говоря, ищем в этом конечномерном многообразии тот вектор, который является возможно лучшим приближением решения исходной вариационной задачи. Беря последовательно линейные комбинации одной, двух и т. д. функций, мы получаем последовательность вложенных друг в друга многообразий возрастающей размерности. Если линейные

комбинации функций всюду плотны в многообразии Ф, то это означает, что векторами из различных можно сколь угодно точно аппроксимировать любой элемент из Ф, в частности тот, который дает решение рассматриваемой вариационной задачи (если такой существует).

Аппроксимация бесконечномерного многообразия конечномерными лежит в основе многих прямых методов вариационного исчисления. Укажем из них еще один, встречающийся, по существу, уже у Эйлера.

Еще в гл. I мы упоминали в связи с выводом уравнения Эйлера о том, что каждую задачу о нахождении экстремума функционала

можно (приближенно) заменить задачей о нахождении экстремума для функции конечного числа переменных, если искомую функцию заменить ломаной, вершины которой имеют фиксированные абсциссы

а ее производную — разностным отношением

При этом функционал (6) заменяется функцией конечного числа переменных

Найдя при каждом ту ломаную, которая дает минимум соответствующей функции переменных, мы построим последовательность ломаных, которые можно рассматривать как приближенные решения исходной вариационной задачи.

Говоря о методе Ритца и о методе ломаных, мы ограничились здесь указанием способов фактического построения приближенных решений, оставив в стороне вопросы сходимости и вопросы существования точного решения.

Подробное изложение прямых методов и их применений читатель найдет, например, в книгах: Л. В. Канторович и В. И. Крылов, «Приближенные методы высшего анализа» и С. Г. Михлин, «Прямые методы математической физики».