ГЛАВА VIII. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧЕ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

§ 38. Понятие о прямых методах вариационного исчисления

Основным методом, доказательства существования и фактического нахождения решения той или иной вариационной задачи, которым мы пользовались в предыдущих главах, было сведение этого вопроса к вопросу о существовании решения некоторого дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений). Этот метод, однако, не всегда приводит к желаемому результату. Его применение осложняется еще тем, что для решения задач вариационного исчисления требуется нахождение решения соответствующих дифференциальных уравнений не в малой окрестности некоторой точки (как это обычно делается в теории дифференциальных уравнений), а в некоторой фиксированной области, на границе которой искомое решение должно удовлетворять определенным граничным условиям. Возникающие на этом пути трудности заставили искать в вариационном исчислении другие, так называемые прямые методы (т. е. не сводящие вариационную задачу к дифференциальным уравнениям).

Развитие прямых методов вариационного исчисления оказалось полезным не только непосредственно для вариационных задач, но и для других областей математики, в частности, они нашли широкое применение в теории дифференциальных уравнений. Основная идея использования вариационных методов в дифференциальных уравнениях состоит в следующем.

Если данное дифференциальное уравнение можно рассматривать как уравнение Эйлера для некоторого функционала и если установлено тем или иным путем, что этот функционал имеет экстремум в классе достаточно гладких функций, то тем самым устанавливается, что исходное уравнение имеет решение, удовлетворяющее краевым условиям, отвечающим рассматриваемой вариационной задаче. Как будет показано ниже, прямые методы вариационного исчисления дают возможность не только доказывать существование соответствующего решения, но и фактически находить его с любой степенью точности.

Существует много различных приемов, объединяемых общим названием «прямые методы». Один из наиболее употребительных среди них — так называемый метод Ритца — мы рассмотрим ниже. Однако большинство всех этих методов основано на одной и той же общей идее, которая состоит в следующем.

Рассмотрим, для определенности, задачу о нахождении минимума некоторого функционала определенного на каком-то классе допустимых кривых. Для того чтобы задача имела смысл, следует предположить, что в классе существуют кривые, для которых и что

В этом случае, по определению точной нижней грани, существует такая последовательность кривых — мы назовем ее минимизирующей последовательностью, — что

Если для последовательности существует предельная кривая и если окажется законным предельный переход

то тогда

т. е. предельная кривая и будет решением рассматриваемой задачи.

Таким образом, решение вариационной задачи прямым методом слагается из

1) построения минимизирующей последовательности

2) доказательства существования у этой последовательности предельной кривой

3) доказательства законности предельного перехода (3).

Сами члены минимизирующей последовательности можно рассматривать как приближенные решения соответствующей вариационной задачи.

Подчеркнем следующее.

1. Построение минимизирующей последовательности, очевидно, возможно всегда, если только Каждый из употребляемых в вариационном исчислении прямых методов характеризуется, собственно говоря, именно способом построения минимизирующих последовательностей. Подробнее об этом будет сказано в следующем параграфе.

2. Хотя минимизирующую последовательность можно построить во всякой вариационной задаче, предельная кривая такой последовательности

может не существовать. Рассмотрим, например, функционал 1

он принимает положительные значения и для него

В качестве минимизирующей последовательности здесь можно взять последовательность функций

    (4)

Действительно,

Но последовательность (4), очевидно, в классе непрерывных функций, удовлетворяющих граничным условиям никакого предела не имеет.

3. Вопрос о законности предельного перехода (3) в предположении существования предела минимизирующей последовательности (если понимается как сходимость самих только функций без производных) для функционалов тоже не тривиален, поскольку рассматриваемые в вариационном исчислении функционалы, вообще говоря, не непрерывны в метрике С, и следовательно, значение функционала J для функции вообще говоря, отлично от

В ряде случаев обосновать предельный переход (3) можно с помощью следующих соображений.

Для справедливости равенства (3) непрерывность функционала не обязательна, а достаточно, чтобы он был полунепрерывен снизу.

Действительно, тогда, с одной стороны,

а с другой, в силу полунепрерывности снизу, при всех достаточно больших ,

откуда при получаем

т. е., в силу произвольности

Таким образом из (5) и (6) получаем, что действительно

если только функционал J полунепрерывен снизу. Аналогичным образом при нахождении с помощью прямых методов максимума функционала достаточно, для законности соответствующего предельного перехода, чтобы рассматриваемый функционал был полунепрерывен сверху.