§ 19. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби

Рассмотрим функционал

определенный на кривых, лежащих в некоторой области G, и предположим, что через любые две точки Л, В из G проходит одна и только одна экстремаль функционала (1). Величину

где интеграл берется вдоль экстремали, соединяющей точки назовем геодезическим расстоянием между этими точками. S представляет собой, очевидно, однозначную функцию координат точек А к В.

Рассмотрим простейшие примеры.

1. Пусть функционал У означает длину кривой, тогда — расстояние (в обычном смысле) между А и В.

2. Рассмотрим процесс распространения света в неоднородной среде. Скорость света в каждой точке предполагается зависящей от координат точки и от направления

Время, в течение которого свет идет вдоль некоторой кривой от точки А до точки В, равно

Согласно принципу Ферма свет распространяется во всякой среде вдоль той кривой, для которой время его прохождения является наименьшим, т. е. вдоль экстремали функционала (3). Итак, в случае функционала (3) есть время распространения света из точки А в точку В.

3. Рассмотрим механическую систему с некоторой функцией Лагранжа L. Интеграл

взятый вдоль экстремали, проходящей через заданные точки А и В, представляет собой согласно сказанному в § 17 действие, отвечающее переходу рассматриваемой системы из одного состояния в другое.

Будем считать начальную точку А фиксированной, а точку В переменной. Тогда будет представлять собой в области G однозначную функцию

координат точки В.

Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Вычислим с этой целью ее частные производные

Для этого найдем полный дифференциал функции , т. е. главную линейную часть приращения

Но есть, по определению, разность

где у — экстремаль, идущая из А в точку а у — экстремаль, идущая в точку , и следовательно,

где за начальную кривую берется экстремаль у, а начальная точка А остается неподвижной

Воспользовавшись выведенной в § 11 формулой для вариации (12), получаем

(все величины берутся в точке В).

Следовательно,

где под понимается выражение в котором — значение производной в точке В для идущей из А в В экстремали, и

тоже является функцией от

Из равенств (4а) и (4б) получаем, что как функция от координат точки В удовлетворяет уравнению

Это уравнение в частных производных (вообще говоря, нелинейное) называется уравнением Гамильтона — Якоби.

Существует тесная связь между уравнением Гамильтона — Якоби и каноническими уравнениями Эйлера. Именно эти канонические уравнения представляют собой так называемую характеристическую систему для уравнения

Мы рассмотрим этот вопрос с несколько иной точки зрения, а именно выясним связь между решениями уравнения Гамильтона — Якоби и первыми интегралами системы уравнений Эйлера.

Теорема 1. Пусть — некоторое решение уравнения Гамильтона — Якоби, зависящее от параметров Тогда каждая из производных

является первым интегралом системы уравнений Эйлера

т. е.

вдоль каждой экстремали.

Доказательство. Нам нужно показать, что вдоль каждой экстремали

Вычислим эту производную. Имеем

Далее, подставив в уравнение

Гамильтона — Якоби и продифференцировав полученное равенство по , находим

Подставляя это выражение в (6), получаем

Так как вдоль экстремалей, то действительно

на каждой экстремали. Теорема доказана.

Если нам известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. его решение

зависящее от параметров, то мы можем согласно сказанному выше написать первых интегралов

канонической системы уравнений Эйлера, которых, вообще говоря, достаточно для получения общего решения канонической системы (4). Действительно, пусть эти первые интегралы независимы, т. е. детерминант матрицы, составленной из производных,

отличен от нуля. Тогда из соотношений (7) мы можем определить функции

положив затем

мы получим общее решение канонической системы

Итак, мы получили следующий результат.

Теорема 2 (Якоби). Пусть

— полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби

и пусть детерминант матрицы

отличен от нуля. Пусть, наконец,

— произвольных постоянных. Тогда функции

определяемые соотношениями

вместе с функциями

образуют общее решение канонической системы

Приведем еще одно доказательство теоремы Якоби, основанное на использовании канонических преобразований.

Пусть

— полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Сделаем в уравнениях

каноническое преобразование, приняв функцию за производящую функцию, — за новые импульсы. Пусть — новые координаты. Тогда в силу формул (24) § 15 имеем

Но поскольку функция S удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, имеем

Поэтому для новых переменных канонические уравнения имеют вид

откуда вдоль каждой экстремали. Мы снова получили те же самые первых интегралов

системы уравнений Эйлера. Если из них определить как функции от параметров и, как и выше, положить

то мы получим функций

которые образуют общее решение канонической системы