§ 17. Принцип наименьшего действия

Рассмотрим некоторые применения полученных в предыдущих параграфах общих результатов к задачам механики.

Пусть нам дана некоторая система материальных точек с массами

Будем предполагать при этом, что никаких связей на рассматриваемую систему не наложено. Кинетическая энергия такой системы равна

Предположим также, что система обладает потенциальной энергией, т. е. что существует такая функция

что компоненты силы, действующей на точку, равны

Положим

Это выражение мы будем называть функцией Лагранжа рассматриваемой механической системы. L представляет собой, очевидно, функцию от координат и скоростей частиц, составляющих рассматриваемую систему, и времени.

Пусть в момент времени система находится в некотором фиксированном положении. Эволюция рассматриваемой системы с течением времени описывается некоторой кривой в -мерном пространстве, определяемой уравнениями

Среди всех кривых, проходящих через начальную точку, та, которая описывает фактическое движение рассматриваемой системы под влиянием "действующих на нее сил, удовлетворяет следующему условию, называемому принципом наименьшего действия:

Движение системы за промежуток времени описывается теми функциями которые дают минимум интегралу

Сам интеграл (4) называется действием.

Покажем, что этот принцип эквивалентен обычным уравнениям движения системы точек.

Если функционал (4) достигает минимума, то должны удовлетворяться уравнения Эйлера

Принимая во внимание, что потенциальная энергия U зависит только от (и не зависит от ), а Т представляет собой сумму квадратов скоростей с коэффициентами мы можем переписать уравнения (5) в виде

Так как производные представляют собой компоненты силы, действующей на частицу, окончательно получаем

а это и есть обычные уравнения движения для системы из свободных материальных точек.

Принцип наименьшего действия справедлив и в том случае, когда на рассматриваемую систему наложены некоторые связи. В этом случае допустимые кривые, на которых рассматривается функционал (4), должны удовлетворять наложенным связям, т. е. применение принципа наименьшего действия к системе со связями, приводит к вариационной задаче на условный экстремум.