§ 16. Связь между инвариантностью интеграла ... и первыми интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер)

В § 14 мы установили, что система уравнений Эйлера, отвечающая функционалу

(F не зависит от х явно), имеет первый интеграл

Тот факт, что F не зависит от х явно, равносилен, очевидно, следующему: если ввести новое переменное х, положив

то функция F, а следовательно, и интеграл (1) при этом не изменятся. Таким образом, Н является первым интегралом системы уравнений Эйлера в том и только том случае если функционал не меняется при преобразовании (2).

Мы покажем сейчас, что связь между первыми интегралами системы уравнений Эйлера и инвариантностью соответствующего функционала относительно некоторых определенных преобразований переменных существует и в общем случае.

Уточним прежде всего само понятие инвариантности функционала относительно той или иной совокупности преобразований.

Пусть дан функционал

Рассмотрим некоторое преобразование

точек -мерного пространства.

Это преобразование переводит некоторую кривую 7, заданную уравнениями

в другую кривую уравнения которой можно получить, подставив в равенства (3), связывающие вместо функции задающие уравнения кривой и исключив х из полученных таким образом равенств. В результате этой операции мы получим уравнений вида

которые и будут уравнениями кривой у. Функционал мы назовем инвариантным относительно данного преобразования, если

т. е.

Приведем простейшие примеры.

1. Функционал

инвариантен относительно преобразования

Действительно, если кривая задана уравнением

то преобразованная кривая у задается уравнением

Имеем

2. Интеграл

может служить примером функционала, не инвариантного относительно преобразования (4). Посмотрим, как он меняется при применении к нему этого преобразования. Проведя те же выкладки, что и в предыдущем примере, получим

Пусть теперь имеется совокупность обратимых преобразований переменных зависящая от некоторого параметра а:

причем функции дифференцируемы, а значению отвечает тождественное преобразование, т. е.

Имеет место следующая

Теорема (Нетер). Каждому преобразованию вида (5), оставляющему интеграл (1) инвариантным, отвечает некоторый первый интеграл системы уравнений Эйлера.

Явный вид этого первого интеграла будет указан ниже,

Доказательство этой теоремы мы проведем сейчас для частного случая преобразований вида

(Доказательство теоремы Нетер в общем случае, в том числе и для функционалов, содержащих несколько независимых переменных, будет дано в гл. VII. Заметим, что для нескольких независимых переменных сама формулировка этой теоремы несколько изменяется.) Считая величину а бесконечно малой, имеем

Положим

т. е.

Считая, что кривая, определяемая уравнениями

есть экстремаль, напишем выражение для вариации функционала (1), отвечающее переходу от Воспользуемся полученной в § 11 формулой (11) для вариации. Учтя, что в нашем случае х не вариируется, т. е. , получаем

Так как по условию функционал (1) инвариантен относйтельно преобразования (5), то вариация этого функционала, отвечающая равна нулю.

Приравнивая нулю, получаем

т. е.

Так как это справедливо для любых двух точек то это означает, что вдоль каждой экстремали

    (6)

т. е.

Итак, мы построили по заданному преобразованию (3), оставляющему инвариантным функционал (1), выражение, сохраняющее постоянное значение вдоль каждой экстремали, т. е. построили некоторый первый интеграл системы уравнений Эйлера. Теорема доказана.

Посмотрим, что дает нам теорема Нетер в уже знакомом нам случае, когда подынтегральная функция F не зависит от х явно.

Независимость F от х означает, что интеграл (1) инвариантен относительно преобразования

Действительно, оно переводит интеграл

в

Эти два интеграла равны между собой для произвольного интервала в том и только том случае, если F не зависит от х явно. Вычислив вариацию функционала (1), отвечающую преобразованию (7), получим

Приравнивая это выражение нулю и рассматривая его лишь на кривых, удовлетворяющих уравнениям Эйлера, получаем

вдоль интегральной кривой. Таким образом, мы снова получаем уже установленный в § 13 результат: для функционалов, не зависящих от времени явно, функция Н представляет собой первый интеграл соответствующей системы уравнений Эйлера.