ГЛАВА VII. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В этой главе мы изложим ряд вопросов, относящихся к функционалам, зависящим от функций двух или большего числа переменных.

К рассмотрению таких функционалов приводят, в частности, задачи механики, относящиеся к системам с бесконечным числом степеней свободы (струна, мембрана и т. п.). Мы рассмотрим здесь, применительно к таким задачам, принцип наименьшего действия и общие методы получения законов сохранения (теорему Нетер), которые в гл. IV излагались для систем, состоящих из конечного числа материальных точек.

§ 31. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области

Рассмотрим функционал

зависящий от функции и переменных и ее частных производных первого порядка, и вычислим его вариацию, считая, что область интегрирования G не вариируется, а функция переходит в

где многоточие означает члены выше первого порядка малости по е. При этом под вариацией функционала (1) мы понимаем главную линейную относительно часть разности

Вычислим эту разность. Для сокращения записи будем писать вместо вместо

и т. п. Получим

где опять многоточие справа означает совокупность членов выше первого порядка относительно . Выражение

и есть вариация функционала (1).

Поставим следующую задачу, важную для дальнейшего: представить вариацию функционала (1) как интеграл от выражения вида

иначе говоря, мы хотим преобразовать выражение (3) так, чтобы производные содержались лишь в такой комбинации членов, которую можно представить в виде дивергенции. Для этой цели в формулу (3) вместо

подставим

Получим

Эта формула для вариации является основной. Ее значение основано на том, что последнее слагаемое, представляющее собой интеграл от дивергенции, может быть сведено к интегралу по границе Г области

В результате этого под знаком интеграла, взятого по G, будет стоять выражение, зависящее только от функции но не от ее

производных, а члены с производными войдут лишь в граничные условия.

Если функция определяющая вариацию функции и обращается в нуль на границе области G, то интеграл

обращается, в силу формулы Грина в нуль, т. е. формула для вариации сводится к

Из общего необходимого условия экстремума функционала

вытекает, как это уже было изложено в гл. I, уравнение Эйлера

представляющее собой основное необходимое условие экстремума для функционала (1).

Мы вывели формулу (4) для вариации, считая область интегрирования G фиксированной. Обобщение этой формулы на тот случай, когда в функционале (1) область интегрирования тоже вариируется, будет сделано в § 33.